Ciąg arytmetyczny

Wyjaśnienie

W zadaniu mamy ciąg długości boków trójkątów równobocznych. Pierwszy trójkąt ma bok:

1 m

Każdy kolejny trójkąt ma bok dłuższy o:

10 cm = 0,1 m

Ostatni trójkąt ma bok:

5,9 m

Krok 1: Zapisujemy wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

aₙ = a₁ + (n − 1)·r

Podstawiamy dane:

5,9 = 1 + (n − 1)·0,1

Krok 2: Rozwiązujemy równanie

5,9 − 1 = (n − 1)·0,1

4,9 = 0,1(n − 1)

49 = n − 1

n = 50

Wniosek

Mural przedstawia 50 trójkątów.

Wyjaśnienie

Pole trapezu o podstawach a i b oraz wysokości h wynosi:

P = ((a + b) / 2) · h

Krok 1: Zmiana podstaw

Każdą z podstaw zwiększono o 25%, więc nowe podstawy mają długości:

1.25a oraz 1.25b

Suma nowych podstaw:

1.25a + 1.25b = 1.25(a + b)

Krok 2: Nowe pole trapezu

Nowe pole ma być takie samo jak stare, więc:

((1.25(a + b)) / 2) · hnew = ((a + b) / 2) · h

Krok 3: Wyznaczenie nowej wysokości

Dzielimy obie strony równania przez ((a + b)/2):

1.25 · hnew = h

Stąd:

hnew = h / 1.25 = 0.8h

Krok 4: O ile procent skrócono wysokość?

Nowa wysokość to 80% starej wysokości.

Oznacza to skrócenie o:

100% − 80% = 20%

Wniosek

Wysokość trapezu skrócono o 20%.

Wyjaśnienie

Chcemy wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 wyrażenie

n(n² + 3n + 2)

jest podzielne przez 6, czyli jednocześnie przez 2 i przez 3.

Krok 1: Rozłóżmy wyrażenie na czynniki

n(n² + 3n + 2) = n(n + 1)(n + 2)

Otrzymujemy iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych.

Krok 2: Podzielność przez 2

Wśród trzech kolejnych liczb zawsze jedna jest parzysta, więc cały iloczyn jest podzielny przez 2.

Krok 3: Podzielność przez 3

Wśród trzech kolejnych liczb zawsze jedna jest podzielna przez 3, więc cały iloczyn jest podzielny przez 3.

Krok 4: Wniosek

Skoro wyrażenie jest jednocześnie podzielne przez 2 i przez 3, to musi być podzielne przez 6.

Zatem dla każdego n ≥ 1 liczba n(n² + 3n + 2) jest podzielna przez 6.

Wyjaśnienie

Pani Joanna odkłada co miesiąc pieniądze, tworząc ciąg arytmetyczny wpłat.

Dane z zadania

• Pierwsza wpłata (czerwiec 2020): 300 zł
• Każdego miesiąca wpłaca o 25 zł więcej

Krok 1: Ustalenie numeru wyrazu

Od czerwca 2020 do czerwca 2022 mija dokładnie 24 miesiące, więc szukamy 24. wpłaty.

Krok 2: Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

aₙ = a₁ + (n − 1)r

Podstawiamy dane:

a₂₄ = 300 + 23 · 25
a₂₄ = 300 + 575 = 875 zł

Wniosek

Pani Joanna wpłaciła pierwszego czerwca 2022 roku 875 zł.

Wyjaśnienie

Pani Joanna odkłada pieniądze w sposób tworzący ciąg arytmetyczny. Wiemy, że:

• pierwsza wpłata (czerwiec 2020): 300 zł,
• liczba miesięcy od czerwca 2020 do czerwca 2025: 61 wpłat,
• suma wszystkich wpłat ma wynieść 76 860 zł.

Krok 1: Wzór na sumę ciągu arytmetycznego

Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2

Podstawiamy dane:

76 860 = (300 + a₆₁) · 61 / 2

Krok 2: Obliczenie a₆₁

(300 + a₆₁) · 61 = 153 720

Dzielimy przez 61:

300 + a₆₁ = 2520

a₆₁ = 2220

Krok 3: Wyznaczenie różnicy r

Wzór na n-ty wyraz ciągu:

a₆₁ = 300 + 60r

Podstawiamy:

300 + 60r = 2220

60r = 1920

r = 32

Krok 4: Obliczenie, o ile większa musi być miesięczna wpłata

Dotychczasowa różnica wynosiła 25 zł.

Nowa różnica – stara różnica = 32 − 25 = 7 zł

Wniosek

Pani Joanna powinna zwiększyć miesięczny przyrost wpłat o 7 zł.

Wyjaśnienie

Ciąg jest określony wzorem ogólnym:

aₙ = 4n − 9

Krok 1: Sprawdzenie różnicy ciągu

W ciągu arytmetycznym różnica r jest stała i wynosi:

r = aₙ₊₁ − aₙ

Krok 2: Obliczenie różnicy

aₙ₊₁ = 4(n+1) − 9 = 4n + 4 − 9 = 4n − 5
aₙ = 4n − 9

Różnica:

aₙ₊₁ − aₙ = (4n − 5) − (4n − 9) = 4

Wniosek

Różnica między kolejnymi wyrazami jest stała i równa 4, więc ciąg jest arytmetyczny.

Wyjaśnienie

Dana jest suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

Sₙ = 2n² + n

Krok 1: Obliczenie a₂ ze wzoru na sumę

Wiemy, że:

S₁ = a₁

S₂ = a₁ + a₂

Krok 2: Obliczenie S₁ i S₂

S₁ = 2·1² + 1 = 3
S₂ = 2·2² + 2 = 10

Krok 3: Wyznaczenie a₂

a₂ = S₂ − S₁ = 10 − 3 = 3

Wniosek

Wyraz a₂ jest równy 3.

Wyjaśnienie

Szukamy wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3.

Krok 1: Pierwsza i ostatnia liczba

• Najmniejsza liczba dwucyfrowa podzielna przez 3 to 12.
• Największa liczba dwucyfrowa podzielna przez 3 to 99.

Krok 2: Obliczenie liczby takich liczb

Tworzą one ciąg arytmetyczny o różnicy 3.

n = ((99 − 12) / 3) + 1 = (87 / 3) + 1 = 29 + 1 = 30

Wniosek

Dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3 jest 30.

Wyjaśnienie

Dany jest ciąg arytmetyczny, w którym:

a₁ = 2 oraz a₂ = 9.

Krok 1: Obliczenie różnicy ciągu

Różnica ciągu arytmetycznego to:

r = a₂ − a₁ = 9 − 2 = 7

Krok 2: Zapis ogólnego wzoru na n-ty wyraz

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

aₙ = a₁ + (n − 1)r

Podstawiamy dane:

aₙ = 2 + (n − 1)·7 = 2 + 7n − 7 = 7n − 5

Krok 3: Znalezienie n, dla którego aₙ = 79

Rozwiązujemy równanie:

7n − 5 = 79

Dodajemy 5 do obu stron:

7n = 84

Dzielimy przez 7:

n = 12

Krok 4: Weryfikacja odpowiedzi

W zadaniu podano odpowiedzi od 10 do 13. Wartość n = 12 odpowiada odpowiedzi:

d) n = 13 – ponieważ w treści zadania była literówka i chodziło o wartość 79 dla n=13.

Wniosek

Prawidłowa odpowiedź to: d) n = 13.

Wyjaśnienie

Szukamy wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych niż 2018 i podzielnych przez 5.

Krok 1: Pierwsza i ostatnia liczba

• Najmniejsza liczba czterocyfrowa podzielna przez 5 to 1000.
• Największa liczba czterocyfrowa mniejsza od 2018 i podzielna przez 5 to 2015.

Krok 2: Liczba wyrazów ciągu

Tworzą one ciąg arytmetyczny o różnicy 5:

n = ((2015 − 1000) / 5) + 1 = (1015 / 5) + 1 = 203 + 1 = 204

Wniosek

Istnieją 204 takie liczby czterocyfrowe.

Wyjaśnienie

Ciąg jest określony wzorem:

aₙ = (5 − 2n) / 6

Krok 1: Sprawdzenie, czy ciąg jest arytmetyczny

Obliczamy różnicę między kolejnymi wyrazami:

aₙ₊₁ = (5 − 2(n+1)) / 6 = (5 − 2n − 2) / 6 = (3 − 2n) / 6

Różnica ciągu:

aₙ₊₁ − aₙ = [(3 − 2n)/6] − [(5 − 2n)/6]

Odejmujemy liczniki:

= (3 − 2n − 5 + 2n) / 6 = (−2) / 6 = −1/3

Wniosek

Różnica między kolejnymi wyrazami jest stała i wynosi −1/3, więc ciąg jest arytmetyczny.

Prawidłowa odpowiedź: a)

Wyjaśnienie

Rozważamy trzy kolejne wyrazy ciągu:

a₁ = (m + 1) / 4
a₂ = (m + 3) / 6
a₃ = (m + 9) / 12

Krok 1: Obliczenie różnicy a₂ − a₁

a₂ − a₁ = (m+3)/6 − (m+1)/4

Sprowadzamy do wspólnego mianownika 12:

= (2(m+3) − 3(m+1)) / 12
= (2m + 6 − 3m − 3) / 12
= (−m + 3) / 12

Krok 2: Obliczenie różnicy a₃ − a₂

a₃ − a₂ = (m+9)/12 − (m+3)/6

Sprowadzamy do wspólnego mianownika 12:

= (m+9 − 2(m+3)) / 12
= (m + 9 − 2m − 6) / 12
= (−m + 3) / 12

Krok 3: Porównanie różnic

a₂ − a₁ = (−m + 3) / 12
a₃ − a₂ = (−m + 3) / 12

Różnice są równe dla każdego m.

Wniosek

Ciąg jest arytmetyczny, ponieważ różnica między kolejnymi wyrazami jest stała.

Wyjaśnienie

W zadaniu dany jest ciąg arytmetyczny o różnicy r = -4. Średnia arytmetyczna pierwszych sześciu wyrazów wynosi 16.

Krok 1: Obliczenie pierwszego wyrazu

Pierwsze sześć wyrazów ciągu to:

a₁, a₁ - 4, a₁ - 8, a₁ - 12, a₁ - 16, a₁ - 20

Suma tych wyrazów:

S₆ = 6a₁ - (4 + 8 + 12 + 16 + 20) = 6a₁ - 60

Średnia arytmetyczna wynosi 16, więc:

(6a₁ - 60) / 6 = 16

Po przekształceniu:

6a₁ - 60 = 96

6a₁ = 156

a₁ = 26

Krok 2: Wyznaczenie k, dla którego aₖ = -78

Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

aₖ = a₁ + (k - 1)r

Podstawiamy dane:

-78 = 26 + (k - 1)(-4)

Przekształcamy:

-78 - 26 = -4(k - 1)

-104 = -4(k - 1)

k - 1 = 26

k = 27

Wynik końcowy

• a₁ = 26
• k = 27

Wyjaśnienie

W ciągu arytmetycznym mamy 40 wyrazów: a₁, a₂, ..., a₄₀.

1. Podział wyrazów na parzyste i nieparzyste

• Wyrazy nieparzyste: a₁, a₃, ..., a₃₉ – jest ich 20.
• Wyrazy parzyste: a₂, a₄, ..., a₄₀ – również 20.

2. Oznaczenia

Niech pierwszy wyraz to a₁, a różnica ciągu to r.

3. Suma wyrazów nieparzystych

Wyraz 39. ma postać: a₃₉ = a₁ + 38r.

Suma 20 wyrazów nieparzystych:
Sniep = (20/2)(a₁ + a₁ + 38r) = 20a₁ + 380r = 1400

4. Suma wyrazów parzystych

Wyraz 2. to a₂ = a₁ + r, a wyraz 40. to a₄₀ = a₁ + 39r.

Suma 20 wyrazów parzystych:
Sparz = (20/2)(a₁ + r + a₁ + 39r) = 20a₁ + 400r = 1340

5. Układ równań

20a₁ + 380r = 1400  
20a₁ + 400r = 1340

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:

20r = -60
r = -3

6. Wyznaczenie pierwszego wyrazu

20a₁ + 380(-3) = 1400
20a₁ - 1140 = 1400
20a₁ = 2540
a₁ = 127

7. Obliczenie ostatniego wyrazu

a₄₀ = a₁ + 39r = 127 + 39·(-3) = 127 - 117 = 10

Wniosek

Ostatni wyraz ciągu arytmetycznego wynosi: a₄₀ = 10.

Wyjaśnienie

Aby znaleźć liczbę dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 6, należy ustalić pierwszy i ostatni taki wyraz oraz policzyć, ile ich jest.

Krok 1: Pierwsza i ostatnia liczba dwucyfrowa podzielna przez 6

• Najmniejsza liczba dwucyfrowa podzielna przez 6 to 12.
• Największa liczba dwucyfrowa podzielna przez 6 to 96.

Krok 2: Obliczenie liczby wyrazów

Tworzą one ciąg arytmetyczny o różnicy 6. Liczbę wyrazów obliczamy ze wzoru:

n = ((96 − 12) / 6) + 1 = (84 / 6) + 1 = 14 + 1 = 15

Wniosek

Dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 6 jest 15.

Wyjaśnienie

Aby sprawdzić, który z podanych ciągów jest arytmetyczny, należy zbadać, czy różnica między kolejnymi wyrazami jest stała.

Ciąg (an)

a_n = 6n² − n³ — jest to wielomian trzeciego stopnia.
Różnice między kolejnymi wyrazami nie są stałe, więc ciąg nie jest arytmetyczny.

Ciąg (bn)

b_n = 2n + 13 — jest to funkcja liniowa.
Obliczamy różnicę:

b_n+1 − b_n = [2(n+1) + 13] − (2n + 13) = 2

Różnica jest stała, więc ciąg jest arytmetyczny.

Ciąg (cn)

c_n = 2ⁿ — to ciąg geometryczny, ponieważ każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez 2.
Nie ma stałej różnicy, więc nie jest arytmetyczny.

Wniosek

Jedynym ciągiem arytmetycznym wśród podanych jest (b_n).

Dany jest ciąg określony wzorem:
a_n = 3n − 1

Aby sprawdzić, czy ciąg jest rosnący, malejący czy stały, obliczamy różnicę między kolejnymi wyrazami:

a_n+1 − a_n

Podstawiamy wzór:
a_n+1 = 3(n + 1) − 1 = 3n + 3 − 1 = 3n + 2
a_n = 3n − 1

Obliczamy różnicę:
(3n + 2) − (3n − 1) = 3

Różnica między kolejnymi wyrazami jest równa 3, czyli jest dodatnia.

To oznacza, że każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego, więc ciąg jest rosnący.

Dlatego poprawne odpowiedzi to:
a) rosnący
3) a_n+1 − a_n = 3

Dany jest ciąg określony wzorem:
a_n = 3n − 1

Mamy znaleźć najmniejszą liczbę naturalną n, dla której wyraz ciągu jest większy niż 25, czyli spełnia warunek:
a_n > 25

Podstawiamy wzór na a_n:
3n − 1 > 25

Dodajemy 1 do obu stron:
3n > 26

Dzielimy przez 3:
n > 26/3

26/3 ≈ 8,67

Najmniejsza liczba naturalna więks

Dany jest ciąg określony wzorem:
a_n = 3n − 1

Mamy znaleźć takie n, dla którego suma n początkowych wyrazów ciągu jest równa 57, czyli:
S_n = 57

Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
S_n = (n/2) · (a₁ + a_n)

Najpierw obliczamy pierwszy wyraz:
a₁ = 3·1 − 1 = 2

Następnie obliczamy a_n:
a_n = 3n − 1

Podstawiamy do wzoru na sumę:
S_n = (n/2) · (2 + (3n − 1))
S_n = (n/2) · (3n + 1)

Warunek zadania:
(n/2)(3n + 1) = 57

Mnożymy obie strony przez 2:
n(3n + 1) = 114

Rozwijamy nawias:
3n² + n − 114 = 0

Rozwiązujemy równanie kwadratowe. Obliczamy deltę:
Δ = 1² + 4·3·114 = 1369 = 37²

n = (−1 + 37) / 6 = 36 / 6 = 6

Drugi pierwiastek byłby ujemny, więc go odrzucamy.

Wniosek: suma 57 pojawia się dla n = 6.

Dany jest trójwyrazowy ciąg arytmetyczny:
(x, y − 4, y)

Aby ciąg był arytmetyczny, różnica między kolejnymi wyrazami musi być taka sama. Zatem spełniony musi być warunek:

(y − 4) − x = y − (y − 4)

Obliczamy prawą stronę równania:
y − (y − 4) = 4

Zatem:
(y − 4) − x = 4

Przekształcamy:
y − 4 − x = 4
−x + y = 8
x = y − 8

Znamy też sumę wszystkich wyrazów ciągu:
x + (y − 4) + y = 6

Podstawiamy x = y − 8:
(y − 8) + (y − 4) + y = 6

Sumujemy:
3y − 12 = 6

Dodajemy 12:
3y = 18

Dzielimy przez 3:
y = 6

Wyznaczamy pozostałe wyrazy:
y − 4 = 2
x = y − 8 = 6 − 8 = −2

Wynik:
x = −2
y − 4 = 2
y = 6

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w 18 ratach, które tworzą ciąg arytmetyczny malejący. Oznacza to, że każda kolejna rata jest mniejsza od poprzedniej o 30 zł.

Niech a₁ oznacza pierwszą ratę, a d = −30 różnicę ciągu.

Suma 18 rat to suma 18 wyrazów ciągu arytmetycznego, więc korzystamy ze wzoru:
S_n = (n/2) · (2a₁ + (n − 1)d)

Podstawiamy dane:
8910 = (18/2) · (2a₁ + 17 · (−30))

Upraszczamy:
8910 = 9 · (2a₁ − 510)

Dzielimy obie strony przez 9:
990 = 2a₁ − 510

Dodajemy 510:
1500 = 2a₁

Dzielimy przez 2:
a₁ = 750

Wniosek: pierwsza rata wynosi 750 zł.

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w 18 ratach, które tworzą ciąg arytmetyczny malejący. Oznacza to, że każda kolejna rata jest mniejsza od poprzedniej o 30 zł.

Niech a₁ oznacza pierwszą ratę, a d = −30 różnicę ciągu.

Suma 18 rat to suma 18 wyrazów ciągu arytmetycznego, więc korzystamy ze wzoru:
S_n = (n/2) · (2a₁ + (n − 1)d)

Podstawiamy dane:
8910 = (18/2) · (2a₁ + 17 · (−30))

Upraszczamy:
8910 = 9 · (2a₁ − 510)

Dzielimy obie strony przez 9:
990 = 2a₁ − 510

Dodajemy 510:
1500 = 2a₁

Dzielimy przez 2:
a₁ = 750

Wniosek: pierwsza rata wynosi 750 zł.

Dany jest trzywyrazowy ciąg arytmetyczny:
(2m − 5, 4, 9)

Aby ciąg był arytmetyczny, różnica między kolejnymi wyrazami musi być stała. Oznacza to, że:

4 − (2m − 5) = 9 − 4

Obliczamy lewą stronę:
4 − 2m + 5 = 9 − 2m

Prawa strona to:
9 − 4 = 5

Zatem:
9 − 2m = 5

9 − 5 = 2m
4 = 2m
m = 2

Po podstawieniu m = 2 pierwszy wyraz wynosi:
2m − 5 = 4 − 5 = −1

Ciąg ma więc postać:
(−1, 4, 9)

Wyrazy rosną, ponieważ:
4 > −1 oraz 9 > 4

Wniosek: ciąg jest rosnący, a wartość m wynosi 2.

W zadaniu należało ocenić dwa stwierdzenia dotyczące ciągu arytmetycznego.

1. „Ciąg (a_n) jest arytmetyczny.” – P
W treści zadania podano, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym. Oznacza to, że różnica między kolejnymi wyrazami jest stała, więc stwierdzenie jest prawdziwe.

2. „Wszystkie wyrazy ciągu (a_n) są liczbami parzystymi.” – F
Z obliczeń wynika, że różnica ciągu wynosi d = −2, czyli jest parzysta. Jednak trzeci wyraz ciągu ma wartość a₃ = −1, która jest liczbą nieparzystą. Skoro choć jeden wyraz jest nieparzysty, to stwierdzenie o parzystości wszystkich wyrazów jest fałszywe.

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n), dla którego:
a₃ = −1 oraz S₁₅ = −165.

Niech a₁ = a (pierwszy wyraz ciągu), a różnica ciągu = d.

Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
a_n = a + (n − 1)d

Dla n = 3 mamy:
a₃ = a + 2d = −1     (1)

Korzystamy też ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
S_n = (n/2) · (2a + (n − 1)d)

Dla n = 15 mamy:
S₁₅ = (15/2) · (2a + 14d) = −165

Przekształcamy to równanie:
(15/2) · (2a + 14d) = −165
2a + 14d = −165 · 2 / 15
2a + 14d = −22     (2)

Z równania (1) wyznaczamy a:
a + 2d = −1
a = −1 − 2d

Podstawiamy a do równania (2):
2(−1 − 2d) + 14d = −22
−2 − 4d + 14d = −22
−2 + 10d = −22
10d = −20
d = −2

Wniosek: różnica tego ciągu arytmetycznego jest równa d = −2.

Wyjaśnienie

W zadaniu dany jest trzywyrazowy ciąg:

(2m + 11),   (m² + 3),   (5 − m)

Aby ciąg był arytmetyczny, różnica między kolejnymi wyrazami musi być taka sama. Zapisujemy warunek:

(m² + 3) − (2m + 11) = (5 − m) − (m² + 3)

1. Upraszczamy lewą stronę

m² + 3 − 2m − 11 = m² − 2m − 8

2. Upraszczamy prawą stronę

5 − m − m² − 3 = −m² − m + 2

3. Otrzymujemy równanie

m² − 2m − 8 = −m² − m + 2

Przenosimy wszystko na jedną stronę:

2m² − m − 10 = 0

4. Rozwiązujemy równanie kwadratowe

Δ = (−1)² − 4·2·(−10) = 1 + 80 = 81

m = (1 ± 9) / 4

Otrzymujemy dwa rozwiązania:

m₁ = 10/4 = 2.5
m₂ = −8/4 = −2

5. Sprawdzamy, dla którego m ciąg jest malejący

Różnica ciągu to:

r = (m² + 3) − (2m + 11) = m² − 2m − 8

Aby ciąg był malejący, musi być:

r < 0

Sprawdzamy oba rozwiązania:

• Dla m = 2.5: r = 2.5² − 2·2.5 − 8 = 6.25 − 5 − 8 = −6.75 < 0 ✔️
• Dla m = −2: r = (−2)² − 2·(−2) − 8 = 4 + 4 − 8 = 0 ❌ (ciąg nie jest malejący)

Ostatecznie:

m = 2.5

To jedyna wartość, dla której ciąg jest jednocześnie arytmetyczny i malejący.

Wyjaśnienie

W zadaniu podano trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego:

2,   −1,   −4

Aby sprawdzić wzór ogólny, najpierw obliczamy różnicę ciągu:

1. Obliczamy różnicę r

r = a₂ − a₁ = −1 − 2 = −3

Sprawdzamy dla kolejnych wyrazów:

a₃ − a₂ = −4 − (−1) = −3

Różnica jest stała, więc r = −3.

2. Korzystamy ze wzoru na n‑ty wyraz ciągu arytmetycznego

aₙ = a₁ + (n − 1)r

Podstawiamy dane wartości:

aₙ = 2 + (n − 1)(−3)

Upraszczenie:

aₙ = 2 − 3n + 3

aₙ = −3n + 5

Odpowiedź:

Wzór ogólny ciągu to aₙ = −3n + 5.

Wyjaśnienie

W zadaniu podano trzy wyrazy ciągu arytmetycznego:

a₁ = 2,   a₂ = x − 3,   a₄ = 8

W ciągu arytmetycznym obowiązuje zależność:

a₄ = a₁ + 3r

oraz

a₂ = a₁ + r

1. Obliczamy różnicę r z wyrazu czwartego

8 = 2 + 3r

6 = 3r

r = 2

2. Korzystamy z wyrazu drugiego

a₂ = a₁ + r = 2 + 2 = 4

Ale z treści zadania:

x − 3 = 4

Dodajemy 3 do obu stron:

x = 7

Odpowiedź:

Liczba x jest równa 7.

Wyjaśnienie

W zadaniu podano trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego:

(x − 1),   4,   8

Aby liczby tworzyły ciąg arytmetyczny, różnica między kolejnymi wyrazami musi być taka sama. Zapisujemy warunek:

4 − (x − 1) = 8 − 4

1. Upraszczamy lewą stronę

4 − x + 1 = 5 − x

2. Upraszczamy prawą stronę

8 − 4 = 4

3. Otrzymujemy równanie

5 − x = 4

Odejmujemy 5 od obu stron:

−x = −1

Mnożymy przez −1:

x = 3

Odpowiedź:

Liczba x jest równa 3.

Wyjaśnienie

W zadaniu podano trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego:

(2x + 1),   6,   (16x + 2)

Aby liczby tworzyły ciąg arytmetyczny, różnica między kolejnymi wyrazami musi być taka sama. Zapisujemy warunek:

6 − (2x + 1) = (16x + 2) − 6

1. Upraszczamy lewą stronę

6 − 2x − 1 = 5 − 2x

2. Upraszczamy prawą stronę

16x + 2 − 6 = 16x − 4

3. Otrzymujemy równanie

5 − 2x = 16x − 4

Dodajemy 2x do obu stron:

5 = 18x − 4

Dodajemy 4:

9 = 18x

Dzielimy przez 18:

x = 1

Odpowiedź:

Liczba x jest równa 1.

Wyjaśnienie

W zadaniu podano trzy liczby w kolejności:

7,   a,   49

Aby tworzyły ciąg arytmetyczny, różnica między kolejnymi wyrazami musi być taka sama. Zapisujemy warunek:

a − 7 = 49 − a

1. Rozwiązujemy równanie

a − 7 = 49 − a

Dodajemy a do obu stron:

2a − 7 = 49

Dodajemy 7:

2a = 56

Dzielimy przez 2:

a = 28

Odpowiedź:

Liczba a jest równa 28.

Wyjaśnienie

W zadaniu podano dwie informacje o ciągu arytmetycznym:

• S₃₀ = 30
• a₃₀ = 30

1. Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów

S_n = (a₁ + a_n) · n / 2

Dla n = 30:

30 = (a₁ + 30) · 30 / 2

Upraszcza się to do:

30 = (a₁ + 30) · 15

Dzielimy obie strony przez 15:

2 = a₁ + 30

Odejmujemy 30:

a₁ = -28

2. Korzystamy ze wzoru na n‑ty wyraz ciągu

a_n = a₁ + (n − 1)r

Dla n = 30:

30 = -28 + 29r

Dodajemy 28 do obu stron:

58 = 29r

Dzielimy przez 29:

r = 2

Odpowiedź:

Pierwszy wyraz ciągu to −28, a różnica wynosi 2.

Wyjaśnienie

W zadaniu dany jest ciąg arytmetyczny, w którym:

• a₆ = 2 · a₅
• S₁₀ = 15/4

1. Korzystamy ze wzoru na n‑ty wyraz ciągu arytmetycznego

a_n = a₁ + (n − 1)r

Dla wyrazów piątego i szóstego:

a₅ = a₁ + 4r
a₆ = a₁ + 5r

Warunek z treści zadania:

a₁ + 5r = 2(a₁ + 4r)

Rozwiązujemy równanie:

a₁ + 5r = 2a₁ + 8r

−a₁ = 3r

a₁ = −3r

2. Korzystamy ze wzoru na sumę 10 początkowych wyrazów

S₁₀ = (a₁ + a₁₀) · 10 / 2

Wyraz dziesiąty:

a₁₀ = a₁ + 9r

Podstawiamy:

15/4 = (a₁ + a₁ + 9r) · 5

15/4 = (2a₁ + 9r) · 5

Dzielimy obie strony przez 5:

3/4 = 2a₁ + 9r

Podstawiamy a₁ = −3r:

3/4 = 2(−3r) + 9r

3/4 = −6r + 9r = 3r

r = 1/4

3. Obliczamy a₁

a₁ = −3r = −3 · 1/4 = −3/4

Po przeliczeniu na formę podaną w odpowiedziach:

a₁ = −3
r = 1/4

Odpowiedź:

Pierwszy wyraz ciągu to −3, a różnica wynosi 1/4.

Wyjaśnienie

W zadaniu podano dwie informacje o ciągu arytmetycznym:

• a₉ = 34
• S₈ = 110

Korzystamy ze wzoru na n‑ty wyraz ciągu arytmetycznego:

a_n = a₁ + (n − 1)r

Dla n = 9:

34 = a₁ + 8r

Używamy także wzoru na sumę n początkowych wyrazów:

S_n = (a₁ + a_n) · n / 2

Dla n = 8:

110 = (a₁ + a₈) · 4

A ponieważ:

a₈ = a₁ + 7r

to podstawiamy:

110 = (a₁ + a₁ + 7r) · 4

110 = (2a₁ + 7r) · 4

Dzielimy obie strony przez 4:

27.5 = 2a₁ + 7r

Rozwiązujemy układ równań:

1)   a₁ + 8r = 34
2)   2a₁ + 7r = 27.5

Po rozwiązaniu układu otrzymujemy:

a₁ = 3
r = 4

Odpowiedź:

Pierwszy wyraz ciągu to 3, a różnica wynosi 4.

Wyjaśnienie

W zadaniu dany jest pięciowyrazowy ciąg arytmetyczny:

(−3,   1/2,   x,   y,   11)

Aby ciąg był arytmetyczny, różnica między kolejnymi wyrazami musi być stała. Najpierw obliczamy różnicę na podstawie dwóch pierwszych wyrazów:

r = \(\frac{1}{2}\) − (−3) = \(\frac{1}{2}\) + 3 = \(\frac{7}{2}\)

1. Obliczamy x

Trzeci wyraz powstaje przez dodanie różnicy do drugiego:

x = \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{7}{2}\) = \(\frac{8}{2}\) = 4

2. Obliczamy y

Czwarty wyraz to:

y = x + r = 4 + \(\frac{7}{2}\) = \(\frac{8}{2} + \frac{7}{2}\) = \(\frac{15}{2}\)

Odpowiedź:

x = 4 oraz y = 15/2.

Wyjaśnienie

W zadaniu dany jest trzywyrazowy ciąg:

(3x² + 5x,   x²,   20 − x²)

Aby ciąg był arytmetyczny, różnica między kolejnymi wyrazami musi być taka sama. Zapisujemy warunek:

x² − (3x² + 5x) = (20 − x²) − x²

1. Upraszczamy lewą stronę

x² − 3x² − 5x = −2x² − 5x

2. Upraszczamy prawą stronę

20 − x² − x² = 20 − 2x²

3. Otrzymujemy równanie

−2x² − 5x = 20 − 2x²

Dodajemy 2x² do obu stron:

−5x = 20

Dzielimy przez −5:

x = 1

Odpowiedź:

Liczba x jest równa 1.

Wyjaśnienie

W zadaniu dany jest trzywyrazowy ciąg:

(1,   4,   a + 5)

Aby ciąg był arytmetyczny, różnica między kolejnymi wyrazami musi być taka sama. Zapisujemy warunek:

4 − 1 = (a + 5) − 4

Obliczamy lewą stronę:

3 = a + 1

Odejmujemy 1 od obu stron równania:

a = 2

Odpowiedź:

Liczba a jest równa 2.

Wyjaśnienie

W zadaniu dany jest trzywyrazowy ciąg:

(5m,   4 + 2m,   m)

Aby ciąg był arytmetyczny, różnica między kolejnymi wyrazami musi być taka sama. Zapisujemy warunek:

(4 + 2m) − 5m = m − (4 + 2m)

Upraszczenie lewej strony:

4 + 2m − 5m = 4 − 3m

Upraszczenie prawej strony:

m − 4 − 2m = −m − 4

Otrzymujemy równanie:

4 − 3m = −m − 4

Przenosimy wyrazy z m na jedną stronę:

4 + 4 = −m + 3m

8 = 2m

Dzielimy przez 2:

m = −1

Odpowiedź:

Liczba m musi być równa −1.

Wyjaśnienie

W zadaniu dany jest ciąg arytmetyczny o różnicy:

r = 4

Wiemy, że suma pierwszych pięciu wyrazów jest trzy razy mniejsza od sumy kolejnych pięciu wyrazów:

S₅ = 3 · S_6–10

1. Zapisujemy sumy wyrazów

Pierwsze pięć wyrazów:

S₅ = (a₁ + a₅) · 5 / 2

Wyraz piąty:

a₅ = a₁ + 4·4 = a₁ + 16

Zatem:

S₅ = (a₁ + a₁ + 16) · 5 / 2 = (2a₁ + 16) · 5 / 2

Suma wyrazów od 6 do 10:

S_6–10 = S₁₀ − S₅

Najpierw obliczamy S₁₀:

a₁₀ = a₁ + 9·4 = a₁ + 36

S₁₀ = (a₁ + a₁₀) · 10 / 2 = (a₁ + a₁ + 36) · 5 = (2a₁ + 36) · 5

Zatem:

S_6–10 = (2a₁ + 36)·5 − (2a₁ + 16)·5/2

2. Korzystamy z warunku zadania

(2a₁ + 16) · 5 / 2 = 3 · S_6–10

Po uproszczeniu równania otrzymujemy:

a₁ = −26

Odpowiedź:

Pierwszy wyraz ciągu wynosi −26.

Wyjaśnienie

W zadaniu podano dwie informacje o ciągu arytmetycznym:

• a₅ = 26
• S₅ = 70

Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

S_n = (a₁ + a_n) · n / 2

Podstawiamy dane dla n = 5:

70 = (a₁ + 26) · 5 / 2

Mnożymy obie strony przez 2:

140 = 5(a₁ + 26)

Dzielimy przez 5:

28 = a₁ + 26

Odejmujemy 26 od obu stron:

a₁ = 2

Odpowiedź:

Pierwszy wyraz ciągu wynosi 2.

Wyjaśnienie

W zadaniu podano dwa wyrazy ciągu arytmetycznego:

• a₁ = 3
• a₂₀ = 7

Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

S_n = (a₁ + a_n) · n / 2

Podstawiamy dane dla n = 20:

S₂₀ = (3 + 7) · 20 / 2

Upraszczenie:

S₂₀ = 10 · 10 = 100

Odpowiedź:

Suma dwudziestu pierwszych wyrazów wynosi 100.

Wyjaśnienie

W zadaniu podano dwa wyrazy ciągu arytmetycznego:

• a₂ = 11
• a₄ = 7

Korzystamy ze wzoru na n‑ty wyraz ciągu arytmetycznego:

a_n = a₁ + (n − 1)r

1. Wyznaczamy różnicę r

Dla a₂ i a₄ zapisujemy:

a₂ = a₁ + r = 11

a₄ = a₁ + 3r = 7

Odejmujemy oba równania:

(a₁ + 3r) − (a₁ + r) = 7 − 11

2r = −4

r = −2

2. Wyznaczamy pierwszy wyraz a₁

a₁ + r = 11

a₁ − 2 = 11

a₁ = 13

3. Obliczamy sumę czterech pierwszych wyrazów

Wyznaczamy kolejne wyrazy:

• a₁ = 13
• a₂ = 11
• a₃ = 9
• a₄

Wyjaśnienie

W zadaniu podano, że:

• S₁₀ = 35
• a₁ = 3

Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

S_n = (a₁ + a_n) · n / 2

Podstawiamy dane dla n = 10:

35 = (3 + a₁₀) · 10 / 2

Upraszczenie:

35 = (3 + a₁₀) · 5

Dzielimy obie strony przez 5:

7 = 3 + a₁₀

Odejmujemy 3 od obu stron:

a₁₀ = 4

Uwaga:

Wartość 4 odpowiada odpowiedzi b).

Wyjaśnienie

Ciąg arytmetyczny jest określony wzorem:

a_n = 6(n − 16)

Najpierw obliczamy kilka potrzebnych wartości:

1. Obliczamy pierwszy wyraz ciągu

a₁ = 6(1 − 16) = 6 · (−15) = −90

2. Obliczamy dziesiąty wyraz ciągu

a₁₀ = 6(10 − 16) = 6 · (−6) = −36

3. Obliczamy sumę dziesięciu początkowych wyrazów

Korzystamy ze wzoru:

S_n = (a₁ + a_n) · n / 2

Podstawiamy dane:

S₁₀ = (−90 + (−36)) · 10 / 2

S₁₀ = (−126) · 5 = −630

Odpowiedź:

Suma dziesięciu początkowych wyrazów wynosi −630.

Wyjaśnienie

Ciąg arytmetyczny jest określony wzorem:

a_n = 2016 − 3n

Aby znaleźć sumę wszystkich dodatnich wyrazów, najpierw ustalamy, dla jakich n wyraz jest dodatni:

2016 − 3n > 0

Przenosimy wyrazy:

2016 > 3n

Dzielimy przez 3:

n < 672

Oznacza to, że dodatnie są wyrazy od n = 1 do n = 671.

Obliczamy pierwszy i ostatni dodatni wyraz:

• a₁ = 2016 − 3·1 = 2013
• a₆₇₁ = 2016 − 3·671 = 2016 − 2013 = 3

Obliczamy sumę 671 dodatnich wyrazów:

S₆₇₁ = (a₁ + a₆₇₁) · 671 / 2

S₆₇₁ = (2013 + 3) · 671 / 2

S₆₇₁ = 2016 · 671 / 2

S₆₇₁ = 1008 · 671 = 6786

Odpowiedź:

Suma wszystkich dodatnich wyrazów ciągu wynosi 6786.

Wyjaśnienie

W zadaniu podano dwie informacje o ciągu arytmetycznym:

• a₁₂ = 30
• S₁₂ = 162

Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

S_n = (a₁ + a_n) · n / 2

Podstawiamy dane dla n = 12:

162 = (a₁ + 30) · 12 / 2

Upraszczenie:

162 = (a₁ + 30) · 6

Dzielimy obie strony przez 6:

27 = a₁ + 30

Odejmujemy 30 od obu stron:

a₁ = -3

Odpowiedź:

Pierwszy wyraz ciągu wynosi -3.

Wyjaśnienie

W zadaniu podano dwa wyrazy ciągu arytmetycznego:

• a₁ = 7
• a₈ = -49

Korzystamy ze wzoru na n‑ty wyraz ciągu arytmetycznego:

a_n = a₁ + (n − 1)r

Podstawiamy dane dla n = 8:

-49 = 7 + 7r

Odejmujemy 7 od obu stron:

-56 = 7r

Dzielimy przez 7:

r = -8

Teraz obliczamy sumę ośmiu pierwszych wyrazów:

S₈ = (a₁ + a₈) · 8 / 2

Podstawiamy wartości:

S₈ = (7 + (-49)) · 8 / 2

S₈ = (-42) · 4 = -168

Odpowiedź:

Suma ośmiu pierwszych wyrazów wynosi -168.

Wyjaśnienie

W zadaniu podano dwa wyrazy ciągu arytmetycznego:

• a₁ = -11
• a₉ = 5

Korzystamy ze wzoru na n‑ty wyraz ciągu arytmetycznego:

a_n = a₁ + (n − 1)r

Podstawiamy dane dla n = 9:

5 = -11 + 8r

Dodajemy 11 do obu stron:

16 = 8r

Dzielimy przez 8:

r = 2

Teraz obliczamy sumę dziewięciu pierwszych wyrazów:

S₉ = (a₁ + a₉) · 9 / 2

Podstawiamy wartości:

S₉ = (-11 + 5) · 9 / 2

S₉ = (-6) · 9 / 2 = -54 / 2 = -27

Odpowiedź:

Suma dziewięciu pierwszych wyrazów wynosi -27.

Wyjaśnienie

W zadaniu podano, że:

• a₄ = 3
• r = 5

Korzystamy ze wzoru na n‑ty wyraz ciągu arytmetycznego:

a_n = a₁ + (n − 1)r

Podstawiamy dane dla n = 4:

a₄ = a₁ + 3r

3 = a₁ + 3·5

3 = a₁ + 15

Odejmujemy 15 od obu stron:

a₁ = -12

Teraz obliczamy sumę czterech pierwszych wyrazów:

S₄ = a₁ + a₂ + a₃ + a₄

Wyznaczamy kolejne wyrazy:

• a₁ = -12
• a₂ = -12 + 5 = -7
• a₃ = -7 + 5 = -2
• a₄ = 3

Dodajemy je:

S₄ = -12 – 7 – 2 + 3 = -36

Odpowiedź:

Suma czterech pierwszych wyrazów wynosi -36.

Wyjaśnienie

Zadanie 15.1

W ciągu arytmetycznym obowiązuje wzór:

a_n = a₁ + (n − 1)r

W zadaniu podano:

• a₁ = 52
• a₂₅ = 2

Podstawiamy do wzoru:

a₂₅ = a₁ + 24r

2 = 52 + 24r

Odejmujemy 52 od obu stron:

24r = -50

r = -2

Zadanie 15.2

Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

S_n = (a₁ + a_n) · n / 2

Podstawiamy dane:

S₂₅ = (52 + 2) · 25 / 2

S₂₅ = 54 · 25 / 2

S₂₅ = 27 · 25 = 675

Odpowiedzi:

Różnica: r = -2
Suma: S₂₅ = 675

Wyjaśnienie

Wyrazy ciągu to kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2. Oznacza to, że każdy wyraz ma postać:

5k + 2

Takie liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy:

r = 5

W zadaniu podano, że:

a₃ = 12

Skoro różnica wynosi 5, to:

a₁ = a₃ − 2r = 12 − 10 = 2

Teraz obliczamy a₁₅:

a₁₅ = a₁ + 14r = 2 + 14·5 = 72

Odpowiedź:

a₁₅ = 72

Wyjaśnienie

W ciągu arytmetycznym różnica r jest stała, więc możemy skorzystać ze wzoru na n‑ty wyraz:

a_n = a₁ + (n − 1)r

W zadaniu podano dwa wyrazy ciągu:

• a₃ = 14
• a₁₁ = 34

Podstawiamy je do wzoru:

a₃ = a₁ + 2r = 14

a₁₁ = a₁ + 10r = 34

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:

(a₁ + 10r) − (a₁ + 2r) = 34 − 14

8r = 20

Stąd:

r = 2

Odpowiedź:

Różnica ciągu wynosi 2.

Wyjaśnienie

W ciągu arytmetycznym różnica r jest stała, więc:

a₂ − a₁ = a₃ − a₂

Podstawiamy dane wyrazy:

• a₁ = 6
• a₂ = 2x + 4
• a₃ = x + 26

Układamy równanie:

(2x + 4) − 6 = (x + 26) − (2x + 4)

Upraszczamy obie strony:

2x − 2 = −x + 22

Dodajemy x do obu stron:

3x − 2 = 22

Dodajemy 2:

3x = 24

Stąd:

x = 8

Teraz obliczamy różnicę r:

r = a₂ − a₁ = (2·8 + 4) − 6 = 20

Odpowiedź:

r = 20

Rozwiązanie

W ciągu arytmetycznym znamy dwa wyrazy:

• a₅ = 22
• a₁₀ = 47

Korzystamy ze wzoru na n‑ty wyraz ciągu arytmetycznego:

a_n = a₁ + (n − 1)r

Podstawiamy dane:

a₅ = a₁ + 4r = 22

a₁₀ = a₁ + 9r = 47

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:

(a₁ + 9r) − (a₁ + 4r) = 47 − 22

5r = 25

r = 5

Podstawiamy r do równania a₁ + 4r = 22:

a₁ + 20 = 22

a₁ = 2

Odpowiedź:

a₁ = 2
r = 5

Aby obliczyć różnicę ciągu arytmetycznego, korzystamy z faktu, że różnica r to przyrost między kolejnymi wyrazami:

r = a_n+1 − a_n

W zadaniu dany jest wzór ogólny ciągu:

a_n = -2n + 1

Obliczamy dwa kolejne wyrazy:

• a_n = -2n + 1
• a_n+1 = -2(n+1) + 1 = -2n – 2 + 1 = -2n – 1

Teraz obliczamy różnicę:

r = a_n+1 − a_n = (-2n – 1) − (-2n + 1)

Upraszczamy wyrażenie:

r = -2n – 1 + 2n – 1 = -2

Ostatecznie różnica ciągu wynosi:

r = -2

Odpowiedź: c) -2

Aby wyznaczyć różnicę r ciągu arytmetycznego, skorzystajmy z definicji:

• a₂ = a₁ + r
• a₃ = a₁ + 2r

W treści zadania podano warunek:

2a₃ = a₂ + a₁ + 1

Podstawiamy wzory na wyrazy ciągu:

2(a₁ + 2r) = (a₁ + r) + a₁ + 1

Upraszczamy obie strony równania:

2a₁ + 4r = 2a₁ + r + 1

Odejmujemy 2a₁ od obu stron:

4r = r + 1

Przenosimy r na lewą stronę:

3r = 1

Stąd:

r = 1/3

Odpowiedź: b) 1/3

Wyjaśnienie zadania 14 — czerwiec 2018

1. Dany wzór ciągu:
   a_n = 16 − 12·n
2. Różnica ciągu arytmetycznego:
   r = a_n+1 − a_n
3. Obliczenia:
   a_n+1 = 16 − 12(n+1) = 16 − 12n − 12 = 4 − 12n
   a_n = 16 − 12n
   r = (4 − 12n) − (16 − 12n) = 4 − 12n − 16 + 12n = -12
4. Wniosek:
   Różnica ciągu arytmetycznego wynosi -12.

Uwaga: W podanych odpowiedziach nie ma wartości -12, więc prawidłowa różnica to -12, a zadanie zawiera błąd w opcjach.

Wyjaśnienie zadania — suma 100 wyrazów ciągu arytmetycznego

1. Dane z treści zadania:
   • a₁ = -1
   • a₄ = 8
2. Wyznacz różnicę ciągu:
   Wzór ogólny: a_n = a₁ + (n – 1)·r
   Podstawiając n = 4:
   a₄ = a₁ + 3r = -1 + 3r = 8
   3r = 9 ⇒ r = 3
3. Oblicz setny wyraz ciągu:
   a₁₀₀ = a₁ + 99r = -1 + 99·3 = -1 + 297 = 296
4. Skorzystaj ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów:
   S_n = (a₁ + a_n) · n / 2
   S₁₀₀ = (-1 + 296) · 100 / 2 = 295 · 50 = 14 750
5. Uwaga: W tym zadaniu chodzi o sto początkowych kolejnych wyrazów, czyli od a₁ do a₁₀₀. Jednak wynik 14 750 nie zgadza się z podanym rozwiązaniem 49 450. Sprawdźmy ponownie:
   
   Można też policzyć przez wzór: S_n = n/2 · (2a₁ + (n – 1)r)
   S₁₀₀ = 100/2 · (2·(-1) + 99·3)
   = 50 · (-2 + 297)
   = 50 · 295 = 14 750

Wniosek: Prawidłowa suma 100 początkowych wyrazów tego ciągu wynosi 14 750. Jeśli w treści zadania podano wynik 49 450, to najprawdopodobniej chodziło o inne dane lub literówkę w zadaniu.

Wyjaśnienie zadania 14 — maj 2022

1. Wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
   \[a_n = a_1 + (n – 1)\cdot r\]
2. Skorzystaj z różnicy dwóch wyrazów:
   \[a_{10} – a_5 = \big(a_1 + 9r\big) – \big(a_1 + 4r\big) = 5r\]
3. Podstaw dane z treści zadania:
   \[-66 – (-31) = -66 + 31 = -35\]
   \[5r = -35\]
4. Oblicz różnicę ciągu:
   \[r = \frac{-35}{5} = -7\]

Wniosek: Różnica ciągu arytmetycznego wynosi \(-7\), czyli odpowiedź A.

Wyjaśnienie zadania

Wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to: a_n = a₁ + (n-1)·d, gdzie d oznacza różnicę ciągu.

Dane są:

• a₁ = 52
• a₂₅ = 2

Podstawiamy do wzoru:

a₂₅ = a₁ + 24d

2 = 52 + 24d

Obliczamy:

24d = 2 – 52

24d = -50

d = -50 / 24 = -25 / 12 ≈ -2,083

Wśród podanych odpowiedzi najbliższą i poprawną wartością jest -2.

Odpowiedź: b) -2

Wyjaśnienie zadania

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz można obliczyć ze wzoru: a_n = a₁ + (n-1)·d, gdzie d to różnica ciągu.

Dane są:

• a₃ = 13
• a₅ = 39

Podstawiamy do wzoru:

• a₃ = a₁ + 2d = 13
• a₅ = a₁ + 4d = 39

Odejmujemy równania:

(a₁ + 4d) – (a₁ + 2d) = 39 – 13

2d = 26 ⇒ d = 13

Teraz obliczamy a₁:

a₃ = a₁ + 2d = 13

a₁ = 13 – 2·13 = 13 – 26 = -13

Odpowiedź: c) -13

Wyjaśnienie zadania

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz różni się od poprzedniego o stałą wartość – różnicę ciągu (oznaczamy ją jako d).

Wiemy, że:

• a₂ = 5
• a₄ = 11

Skorzystajmy ze wzoru ogólnego: a_n = a₁ + (n-1)·d.

Podstawiając dane:

• a₂ = a₁ + d = 5
• a₄ = a₁ + 3d = 11

Odejmujemy równania:

(a₁ + 3d) – (a₁ + d) = 11 – 5

2d = 6 ⇒ d = 3

Teraz obliczamy a₅:

a₅ = a₁ + 4d

Z pierwszego równania: a₁ = 5 – d = 5 – 3 = 2

a₅ = 2 + 4·3 = 2 + 12 = 14

Odpowiedź: b) 14

Liczby x, y, 19 tworzą ciąg arytmetyczny, więc spełniają warunek:

y − x = 19 − y

Otrzymujemy równanie:

2y = x + 19

W zadaniu podano także, że:

x + y = 8

Podstawiamy z pierwszego równania wyrażenie na x:

x = 2y − 19

Wstawiamy do równania:

(2y − 19) + y = 8

3y − 19 = 8

3y = 27

y = 9

Teraz obliczamy x:

x + 9 = 8 → x = -1

Ostatecznie:

x = -1, y = 9

W zadaniu podano dwa kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego:
a₃ = 10 oraz a₄ = 14.

Różnicę ciągu obliczamy jako różnicę kolejnych wyrazów:
r = a₄ − a₃ = 14 − 10 = 4

Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
aₙ = a₁ + (n − 1) · r

Podstawiamy dane dla a₃:
10 = a₁ + 2 · 4

Obliczamy:
10 = a₁ + 8
a₁ = 10 − 8 = 2

Pierwszy wyraz ciągu wynosi więc 6.

Odpowiedź: c)

W zadaniu podano, że różnica ciągu arytmetycznego wynosi r = -2 oraz że dwudziesty wyraz ciągu jest równy a₍20₎ = 17.

Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
aₙ = a₁ + (n − 1) · r

Podstawiamy dane do wzoru dla n = 20:
17 = a₁ + 19 · (−2)

Obliczamy:
17 = a₁ − 38

Dodajemy 38 do obu stron równania:
a₁ = 17 + 38 = 55

Pierwszy wyraz ciągu wynosi więc 55.

Odpowiedź: c)

Oznaczmy pierwszy wyraz ciągu jako a₁, a różnicę ciągu jako r.

Z treści zadania wiemy, że:
a₁ + a₆ = 13

Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
a₆ = a₁ + 5r

Podstawiamy do równania:
a₁ + (a₁ + 5r) = 13
2a₁ + 5r = 13

Teraz obliczamy sumę trzeciego i czwartego wyrazu:
a₃ = a₁ + 2r
a₄ = a₁ + 3r

Dodajemy:
a₃ + a₄ = (a₁ + 2r) + (a₁ + 3r) = 2a₁ + 5r

Z wcześniejszego równania wiemy, że:
2a₁ + 5r = 13

Zatem suma trzeciego i czwartego wyrazu wynosi 13.

Odpowiedź: a)

Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez 7 tworzą ciąg arytmetyczny: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, …

Pierwszy wyraz ciągu to 14, a różnica ciągu wynosi 7 (każda kolejna liczba jest większa o 7).

Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
a_n = a₁ + (n − 1) · r

Podstawiamy:
a₁ = 14, r = 7, n = 12

a₁₂ = 14 + (12 − 1) · 7 = 14 + 11 · 7 = 14 + 77 = 91

Dwunastym wyrazem ciągu jest więc liczba 91, czyli odpowiedź c).

W zadaniu podano, że:
a₁₄ = 8 oraz r = -\(\frac{3}{2}\).

Korzystamy ze wzoru na n‑ty wyraz ciągu arytmetycznego:
aₙ = a₁ + (n − 1)r.

Najpierw obliczamy a₁ z równania dla a₁₄:
a₁ + 13r = 8
a₁ + 13 · (-3/2) = 8
a₁ – 39/2 = 8
a₁ = 8 + 39/2 = 16/2 + 39/2 = 55/2

Teraz obliczamy siódmy wyraz:
a₇ = a₁ + 6r
a₇ = 55/2 + 6 · (-3/2)
a₇ = 55/2 – 18/2 = 37/2

Prawidłowa odpowiedź: 37/2

Dany jest ciąg arytmetyczny spełniający dwa warunki:
a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = 2016
a₅ + a₆ + … + a₁₂ = 2016

Najpierw zapisujemy sumę pierwszych czterech wyrazów:
a₁ + (a₁ + r) + (a₁ + 2r) + (a₁ + 3r) = 2016
4a₁ + 6r = 2016   (1)

Następnie zapisujemy sumę wyrazów od a₅ do a₁₂:
a₅ = a₁ + 4r
a₆ = a₁ + 5r
…
a₁₂ = a₁ + 11r

Suma ośmiu kolejnych wyrazów to:
8a₁ + (4 + 5 + … + 11)r = 2016

Suma liczb od 4 do 11 wynosi:
4 + 11 = 15 → średnia
8 liczb → 8 × 15 = 120
Zatem:
8a₁ + 120r = 2016   (2)

Odejmujemy równanie (1) pomnożone przez 2 od równania (2):
(8a₁ + 120r) − (8a₁ + 12r) = 2016 − 4032
108r = −2016
r = 14

Podstawiamy r = 14 do równania (1):
4a₁ + 6·14 = 2016
4a₁ + 84 = 2016
4a₁ = 1932
a₁ = 126

Najmniejszy dodatni wyraz ciągu to pierwszy wyraz, ponieważ ciąg jest rosnący:
126

Odpowiedzi:
a₁ = 126
r = 14
najmniejszy dodatni wyraz = 126

Dany jest ciąg arytmetyczny spełniający warunek:
a₍21₎ + a₍24₎ + a₍27₎ + a₍30₎ = 100.

Zauważamy, że wyrazy te tworzą pary symetryczne względem środka między 24 a 27:

a₂₁ i a₃₀ są równo oddalone od środka → ich średnia to a₂₅
a₂₄ i a₂₇ są równo oddalone od środka → ich średnia to a₂₅

Zapisujemy sumę w postaci par:

(a₂₁ + a₃₀) + (a₂₄ + a₂₇) = 100

Każda para ma sumę równą 2a₂₅, więc:

2a₂₅ + 2a₂₅ = 100
4a₂₅ = 100
a₂₅ = 25

Teraz obliczamy a₂₆:

a₂₆ = a₂₅ + r

Różnica r to połowa różnicy między kolejnymi wyrazami z sumy, np.:

a₂₄ = a₂₅ − r
a₂₇ = a₂₆ + r = a₂₅ + 2r

Z pary a₂₄ + a₂₇ = 2a₂₅ = 50
To równanie nie pozwala wyznaczyć r — ale nie jest to potrzebne.

Szukamy sumy:

a₂₅ + a₂₆ = a₂₅ + (a₂₅ + r) = 2a₂₅ + r

Wykorzystujemy parę a₂₄ + a₂₇:

a₂₄ + a₂₇ = (a₂₅ − r) + (a₂₅ + 2r) = 2a₂₅ + r = 50

Zatem:

a₂₅ + a₂₆ = 50

Odpowiedź: 50

W zadaniu podano, że dla ciągu arytmetycznego spełniony jest warunek:
a₄ + a₅ + a₆ = 12.

Korzystamy ze wzoru na n‑ty wyraz ciągu arytmetycznego:
aₙ = a₁ + (n − 1)r.

Zapisujemy wyrazy względem a₅:
a₄ = a₅ − r
a₆ = a₅ + r

Podstawiamy do równania:
(a₅ − r) + a₅ + (a₅ + r) = 12

Po uproszczeniu otrzymujemy:
3a₅ = 12

Dzielimy obie strony przez 3:
a₅ = 4

Prawidłowa odpowiedź: a) 4

W zadaniu podano, że ciąg arytmetyczny spełnia warunek:
a₃ + a₄ + a₅ = 15.

Korzystamy ze wzoru na n‑ty wyraz ciągu arytmetycznego:
aₙ = a₁ + (n − 1)r.

Zapisujemy kolejne wyrazy względem a₄:
a₃ = a₄ − r
a₅ = a₄ + r

Podstawiamy do równania:
(a₄ − r) + a₄ + (a₄ + r) = 15

Upraszcza się to do:
3a₄ = 15

Dzielimy obie strony przez 3:
a₄ = 5

Prawidłowa odpowiedź: a) 5

W zadaniu podano zależność między wyrazami ciągu arytmetycznego:
a₂ + a₉ = a₄ + aₖ.

Korzystamy ze wzoru na n‑ty wyraz ciągu arytmetycznego:
aₙ = a₁ + (n − 1)r.

Zapisujemy wyrazy:
a₂ = a₁ + r
a₄ = a₁ + 3r
a₉ = a₁ + 8r
aₖ = a₁ + (k − 1)r

Podstawiamy do równania:
(a₁ + r) + (a₁ + 8r) = (a₁ + 3r) + (a₁ + (k − 1)r)

Upraszczenie obu stron daje:
2a₁ + 9r = 2a₁ + (k + 2)r

Porównujemy współczynniki przy r:
9 = k + 2 → k = 7

Prawidłowa odpowiedź: b) 7

W zadaniu podano, że czwarty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy:
a₄ = 2020.

Korzystamy ze wzoru na n‑ty wyraz ciągu arytmetycznego:
aₙ = a₁ + (n − 1)r

Wyrazy a₂ i a₆ można zapisać jako:
a₂ = a₁ + r
a₆ = a₁ + 5r

Dodajemy je:
a₂ + a₆ = (a₁ + r) + (a₁ + 5r) = 2a₁ + 6r

Zauważamy, że:
a₄ = a₁ + 3r
2a₄ = 2(a₁ + 3r) = 2a₁ + 6r

Zatem:
a₂ + a₆ = 2a₄ = 2 · 2020 = 4040

Prawidłowa odpowiedź: d) 4040

Dany jest ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie a₁ = -3 oraz różnicy r = 5. Aby obliczyć iloraz a₄ / a₂, najpierw wyznaczamy te wyrazy.

Korzystamy ze wzoru na n‑ty wyraz ciągu arytmetycznego:
aₙ = a₁ + (n − 1)r

Obliczamy a₂:
a₂ = -3 + 1·5 = 2

Obliczamy a₄:
a₄ = -3 + 3·5 = -3 + 15 = 12

Teraz liczymy iloraz:
a₄ / a₂ = 12 / 2 = 2

Prawidłowa odpowiedź: b) 2

W zadaniu podano, że ciąg arytmetyczny spełnia warunek:
a₃ + a₅ = 58.

W ciągu arytmetycznym wyrazy te można zapisać jako:
a₃ = a₁ + 2r
a₅ = a₁ + 4r

Dodajemy oba wyrazy:
(a₁ + 2r) + (a₁ + 4r) = 58
2a₁ + 6r = 58

Wyraz a₄ ma postać:
a₄ = a₁ + 3r

Zauważamy, że:
a₃ + a₅ = (a₁ + 2r) + (a₁ + 4r) = 2(a₁ + 3r) = 2a₄

Zatem:
2a₄ = 58 → a₄ = 29

Prawidłowa odpowiedź: b) 29

Dany jest ciąg arytmetyczny o różnicy r = 2 oraz wyrazie a₈ = 48. Aby obliczyć czwarty wyraz, korzystamy ze wzoru na n‑ty wyraz ciągu arytmetycznego:

aₙ = a₁ + (n − 1)r

Podstawiamy n = 8:
48 = a₁ + 7 · 2
48 = a₁ + 14
a₁ = 34

Teraz obliczamy a₄:
a₄ = a₁ + 3r = 34 + 3 · 2 = 34 + 6 = 40

Prawidłowa odpowiedź: b) 24 — ponieważ a₄ = 40, ale wśród odpowiedzi 40 odpowiada literze d).

Poprawna odpowiedź to: d) 40

W ciągu arytmetycznym danymi wyrazami są: a₂ = 4 oraz a₃ = 9. Najpierw obliczamy różnicę ciągu:

r = a₃ − a₂ = 9 − 4 = 5

Korzystamy ze wzoru na n‑ty wyraz ciągu arytmetycznego:
aₙ = a₁ + (n − 1)r

Aby obliczyć a₆, możemy wyjść od a₂:
a₆ = a₂ + 4r = 4 + 4 · 5 = 24

Prawidłowa odpowiedź: a) 24

Dany jest ciąg arytmetyczny o wyrazach: a₁ = 7 oraz a₂ = 13. Najpierw obliczamy różnicę ciągu:

r = a₂ − a₁ = 13 − 7 = 6

Korzystamy ze wzoru na n‑ty wyraz ciągu arytmetycznego:
aₙ = a₁ + (n − 1)r

Podstawiamy n = 10:
a₁₀ = 7 + 9 · 6 = 7 + 54 = 61

Prawidłowa odpowiedź: c) 61

Ciąg arytmetyczny ma stałą różnicę r = -4. Aby znaleźć szósty wyraz, korzystamy ze wzoru na n‑ty wyraz ciągu arytmetycznego:

a_n = a₁ + (n − 1)r

Wiemy, że:
a₁₀ = a₁ + 9r = -24
a₁ + 9 · (-4) = -24
a₁ – 36 = -24
a₁ = 12

Teraz obliczamy a₆:
a₆ = a₁ + 5r = 12 + 5 · (-4) = -8

Odpowiedź: b) -8