Zadanie 132

Wyjaśnienie

W zadaniu dany jest trzywyrazowy ciąg:

(2m + 11),   (m² + 3),   (5 − m)

Aby ciąg był arytmetyczny, różnica między kolejnymi wyrazami musi być taka sama. Zapisujemy warunek:

(m² + 3) − (2m + 11) = (5 − m) − (m² + 3)

1. Upraszczamy lewą stronę

m² + 3 − 2m − 11 = m² − 2m − 8

2. Upraszczamy prawą stronę

5 − m − m² − 3 = −m² − m + 2

3. Otrzymujemy równanie

m² − 2m − 8 = −m² − m + 2

Przenosimy wszystko na jedną stronę:

2m² − m − 10 = 0

4. Rozwiązujemy równanie kwadratowe

Δ = (−1)² − 4·2·(−10) = 1 + 80 = 81

m = (1 ± 9) / 4

Otrzymujemy dwa rozwiązania:

m₁ = 10/4 = 2.5
m₂ = −8/4 = −2

---

5. Sprawdzamy, dla którego m ciąg jest malejący

Różnica ciągu to:

r = (m² + 3) − (2m + 11) = m² − 2m − 8

Aby ciąg był malejący, musi być:

r < 0

Sprawdzamy oba rozwiązania:

• Dla m = 2.5: r = 2.5² − 2·2.5 − 8 = 6.25 − 5 − 8 = −6.75 < 0 ✔️
• Dla m = −2: r = (−2)² − 2·(−2) − 8 = 4 + 4 − 8 = 0 ❌ (ciąg nie jest malejący)

Ostatecznie:

m = 2.5

To jedyna wartość, dla której ciąg jest jednocześnie arytmetyczny i malejący.