Równania wymierne

Równania wymierne

Definicja:
Równanie wymierne to równanie, w którym zmienna występuje w mianowniku ułamka.

Ogólna postać:$$\frac{P(x)}{Q(x)} = 0, \quad Q(x) \ne 0$$

gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami.

---

1. Rozwiązywanie równań wymiernych:

Krok 1 – warunek dziedziny:

• Wyznacz, dla jakich x mianownik Q(x) ≠ 0.

Krok 2 – mnożenie przez mianownik:

• Pomnóż obie strony równania przez Q(x), zachowując warunki dziedziny.

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = 0 \quad \Rightarrow \quad P(x) = 0$$

Krok 3 – rozwiązanie równania:

• Rozwiąż równanie wielomianowe w liczniku P(x) = 0.
• Odrzuć rozwiązania, które zerują mianownik.

---

2. Przykłady:

1. $\frac{x-3}{x+2} = 0$

• Warunek: x + 2 ≠ 0 → x ≠ −2
• Licznik: x − 3 = 0 → x = 3

2. $\frac{x^2-4}{x-1} = 0$

• Warunek: x − 1 ≠ 0 → x ≠ 1
• Licznik: x² − 4 = 0 → x − 2 = 0 lub x + 2 = 0 → x = 2 lub x = −2

---

3. Wskazówki:

• Zawsze sprawdzaj, które wartości zmiennej powodują zerowanie mianownika i je odrzucaj.
• Rozwiązuj najpierw równanie licznika.
• Równania wymierne mogą prowadzić do wielu rozwiązań, ale część może być niedozwolona.

---