Równania kwadratowe

Równania kwadratowe

Definicja:
Równanie kwadratowe to równanie, w którym zmienna występuje w drugiej potędze.

Ogólna postać:$$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \ne 0$$

---

1. Rozwiązywanie równania kwadratowego:

a) Wzór kwadratowy:$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$

b) Rozkład na czynniki:$$ax^2 + bx + c = (dx + e)(fx + g) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1, x_2$$

c) Metoda dopełniania kwadratu:$$ax^2 + bx + c = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{przekształcamy do formy } (x + p)^2 = q$$

---

2. Delta (Δ) – wyróżnik równania kwadratowego:$$\Delta = b^2 – 4ac$$

Interpretacja:

• Δ > 0 → dwa różne pierwiastki rzeczywiste
• Δ = 0 → jeden podwójny pierwiastek
• Δ < 0 → brak pierwiastków rzeczywistych (pierwiastki zespolone)

---

3. Przykłady:

1. x² − 5x + 6 = 0 → Δ = 25 − 24 = 1 → x = (5 ± 1)/2 → x = 2, 3
2. x² + 4x + 4 = 0 → Δ = 16 − 16 = 0 → x = −4/2 = −2

---

4. Wskazówki:

• Najpierw policz deltę Δ.
• Jeśli to możliwe, spróbuj rozłożyć równanie na czynniki.
• Przy równaniach z liczbami zespolonymi używamy wzoru kwadratowego.

---