Potęga o wykładniku rzeczywistym

Potęga o wykładniku rzeczywistym

Definicja:
Dla liczby a > 0 i wykładnika rzeczywistego x:
a^x – oznacza liczbę, którą otrzymujemy w wyniku uogólnienia własności potęg.

1. Właściwości:

1. a^0 = 1, dla a ≠ 0
2. a^1 = a
3. a^(x+y) = a^x × a^y
4. a^(x−y) = a^x ÷ a^y
5. (a^x)^y = a^(x·y)
6. (a·b)^x = a^x × b^x
7. (a / b)^x = a^x ÷ b^x, b ≠ 0

2. Obliczanie potęgi o wykładniku rzeczywistym:

• Jeśli x jest ułamkiem – korzystamy z potęgi wymiernej: a^(m/n) = n-ta pierwiastek z a^m
• Jeśli x jest liczbą niewymierną – wynik obliczamy przybliżeniami (np. przy pomocy logarytmów lub kalkulatora)

3. Przykłady:

• 2^0,5 = √2 ≈ 1,414
• 9^0,5 = √9 = 3
• 27^(1/3) = 3
• 16^(3/4) = 8

4. Wskazówki:

• Podstawą potęgi rzeczywistej musi być liczba dodatnia, jeśli działamy w zbiorze liczb rzeczywistych.
• Własności potęg działają tak samo jak dla wykładników całkowitych i wymiernych.