Zadanie 133

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n), dla którego:
a₃ = −1 oraz S₁₅ = −165.

Niech a₁ = a (pierwszy wyraz ciągu), a różnica ciągu = d.

Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
a_n = a + (n − 1)d

Dla n = 3 mamy:
a₃ = a + 2d = −1     (1)

Korzystamy też ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
S_n = (n/2) · (2a + (n − 1)d)

Dla n = 15 mamy:
S₁₅ = (15/2) · (2a + 14d) = −165

Przekształcamy to równanie:
(15/2) · (2a + 14d) = −165
2a + 14d = −165 · 2 / 15
2a + 14d = −22     (2)

Z równania (1) wyznaczamy a:
a + 2d = −1
a = −1 − 2d

Podstawiamy a do równania (2):
2(−1 − 2d) + 14d = −22
−2 − 4d + 14d = −22
−2 + 10d = −22
10d = −20
d = −2

Wniosek: różnica tego ciągu arytmetycznego jest równa d = −2.