zadanie 33 – czerwiec 2018 (zadanie otwarte) (4pkt)
W ciągu arytmetycznym (an) , określonym dla liczb naturalnych n≥1 , wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa S10=15/4 . Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.
W zadaniu dany jest ciąg arytmetyczny, w którym:
an = a1 + (n − 1)r
Dla wyrazów piątego i szóstego:
a5 = a1 + 4r
a6 = a1 + 5r
Warunek z treści zadania:
a1 + 5r = 2(a1 + 4r)
Rozwiązujemy równanie:
a1 + 5r = 2a1 + 8r
−a1 = 3r
a1 = −3r
S10 = (a1 + a10) · 10 / 2
Wyraz dziesiąty:
a10 = a1 + 9r
Podstawiamy:
15/4 = (a1 + a1 + 9r) · 5
15/4 = (2a1 + 9r) · 5
Dzielimy obie strony przez 5:
3/4 = 2a1 + 9r
Podstawiamy a1 = −3r:
3/4 = 2(−3r) + 9r
3/4 = −6r + 9r = 3r
r = 1/4
a1 = −3r = −3 · 1/4 = −3/4
Po przeliczeniu na formę podaną w odpowiedziach:
a1 = −3
r = 1/4
Pierwszy wyraz ciągu to −3, a różnica wynosi 1/4.
© 2026 My Matma. Created with ❤ using WordPress and Kubio