Zadanie 88

Dany jest ciąg arytmetyczny spełniający dwa warunki:
a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = 2016
a₅ + a₆ + … + a₁₂ = 2016

Najpierw zapisujemy sumę pierwszych czterech wyrazów:
a₁ + (a₁ + r) + (a₁ + 2r) + (a₁ + 3r) = 2016
4a₁ + 6r = 2016   (1)

Następnie zapisujemy sumę wyrazów od a₅ do a₁₂:
a₅ = a₁ + 4r
a₆ = a₁ + 5r
…
a₁₂ = a₁ + 11r

Suma ośmiu kolejnych wyrazów to:
8a₁ + (4 + 5 + … + 11)r = 2016

Suma liczb od 4 do 11 wynosi:
4 + 11 = 15 → średnia
8 liczb → 8 × 15 = 120
Zatem:
8a₁ + 120r = 2016   (2)

Odejmujemy równanie (1) pomnożone przez 2 od równania (2):
(8a₁ + 120r) − (8a₁ + 12r) = 2016 − 4032
108r = −2016
r = 14

Podstawiamy r = 14 do równania (1):
4a₁ + 6·14 = 2016
4a₁ + 84 = 2016
4a₁ = 1932
a₁ = 126

Najmniejszy dodatni wyraz ciągu to pierwszy wyraz, ponieważ ciąg jest rosnący:
126

Odpowiedzi:
a₁ = 126
r = 14
najmniejszy dodatni wyraz = 126