Układy równań liniowych

Układy równań liniowych

Definicja:
Układ równań liniowych to zbiór dwóch lub więcej równań liniowych z tymi samymi zmiennymi.

Ogólna postać dla dwóch zmiennych:$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$$

---

1. Metody rozwiązywania układów liniowych:

a) Metoda podstawiania:

1. Wyznacz jedną zmienną z jednego równania: $y = f(x)$y=f(x)
2. Podstaw do drugiego równania i oblicz drugą zmienną
3. Oblicz pierwszą zmienną

b) Metoda przeciwnych współczynników (albo dodawania/odejmowania):

1. Doprowadź układ tak, aby przy jednej zmiennej współczynniki były przeciwne
2. Dodaj lub odejmij równania, aby wyeliminować jedną zmienną
3. Rozwiąż dla pozostałej zmiennej, a następnie podstaw

c) Metoda wyznaczników (Cramera):
Dla układu dwóch równań:$$x = \frac{\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}, \quad y = \frac{\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}$$

jeśli wyznacznik główny ≠ 0

---

2. Przykład:

Układ:$$\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x – y = 1 \end{cases}$$

Metoda podstawiania:

1. x = y + 1
2. 2(y + 1) + 3y = 8 → 2y + 2 + 3y = 8 → 5y = 6 → y = 6/5
3. x = 1 + 6/5 = 11/5

---

3. Wskazówki:

• Sprawdź, czy układ ma jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub brak rozwiązań:
  • Jeśli równania są równoległe → brak rozwiązań
  • Jeśli równania są identyczne → nieskończenie wiele rozwiązań
  • Jeśli się przecinają w jednym punkcie → jedno rozwiązanie

---