Zadanie 142

Wyjaśnienie

W ciągu arytmetycznym mamy 40 wyrazów: a₁, a₂, ..., a₄₀.

1. Podział wyrazów na parzyste i nieparzyste

• Wyrazy nieparzyste: a₁, a₃, ..., a₃₉ – jest ich 20.
• Wyrazy parzyste: a₂, a₄, ..., a₄₀ – również 20.

2. Oznaczenia

Niech pierwszy wyraz to a₁, a różnica ciągu to r.

3. Suma wyrazów nieparzystych

Wyraz 39. ma postać: a₃₉ = a₁ + 38r.

Suma 20 wyrazów nieparzystych:
Sniep = (20/2)(a₁ + a₁ + 38r) = 20a₁ + 380r = 1400

4. Suma wyrazów parzystych

Wyraz 2. to a₂ = a₁ + r, a wyraz 40. to a₄₀ = a₁ + 39r.

Suma 20 wyrazów parzystych:
Sparz = (20/2)(a₁ + r + a₁ + 39r) = 20a₁ + 400r = 1340

5. Układ równań

20a₁ + 380r = 1400  
20a₁ + 400r = 1340

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:

20r = -60
r = -3

6. Wyznaczenie pierwszego wyrazu

20a₁ + 380(-3) = 1400
20a₁ - 1140 = 1400
20a₁ = 2540
a₁ = 127

7. Obliczenie ostatniego wyrazu

a₄₀ = a₁ + 39r = 127 + 39·(-3) = 127 - 117 = 10

Wniosek

Ostatni wyraz ciągu arytmetycznego wynosi: a₄₀ = 10.