Określenie ciągu geometrycznego

Ciąg geometryczny $(a_n)$ to taki ciąg liczbowy, w którym każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez liczbę $q$ , gdzie $q$ nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego. $a_{n+1} = a_n \cdot q \quad \text{dla } n \in \mathbb{N}^+$

W każdym ciągu geometrycznym iloraz $q$ jest liczbą stałą. $q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$

Ciąg geometryczny może być opisany wzorem ogólnym: $a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}$

Rozwiążmy zadania!

Zadanie 1

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ .
Wyznacz $a_1$ , $q$ oraz $a_5$ .

a) 2, 4, 8, 16, …

Odpowiedź to: a1=2,q=2,a5=32

a) 2, 4, 8, 16, …

a₁ = 2 – pierwszy wyraz ciągu
a₂ = 4 – drugi wyraz ciągu
a₃ = 8 – trzeci wyraz ciągu

Iloraz ciągu geometrycznego obliczamy, dzieląc dwa kolejne wyrazy ciągu:

q = a₂ / a₁ = 4 / 2 = 2

Iloraz można również obliczyć z innych kolejnych wyrazów, np.:
q = a₄ / a₃

Ostatecznie:
q = 2

Obliczamy wyraz a₅

Dowolny wyraz ciągu geometrycznego możemy obliczyć ze wzoru ogólnego:

a_n = a₁ · qⁿ⁻¹

b) $\frac{1}{64}, \frac{1}{16}, \frac{1}{4}, \ldots$
c) -125, 25, -5 , …

Matura bez Tajemnic

Sprawdź, czy poradzisz sobie z zadaniami, które już pojawiły się na maturze z tego działu.

Zadania maturalne