Zadanie 118

Wyjaśnienie

W zadaniu dany jest ciąg arytmetyczny o różnicy:

r = 4

Wiemy, że suma pierwszych pięciu wyrazów jest trzy razy mniejsza od sumy kolejnych pięciu wyrazów:

S₅ = 3 · S_6–10

1. Zapisujemy sumy wyrazów

Pierwsze pięć wyrazów:

S₅ = (a₁ + a₅) · 5 / 2

Wyraz piąty:

a₅ = a₁ + 4·4 = a₁ + 16

Zatem:

S₅ = (a₁ + a₁ + 16) · 5 / 2 = (2a₁ + 16) · 5 / 2

---

Suma wyrazów od 6 do 10:

S_6–10 = S₁₀ − S₅

Najpierw obliczamy S₁₀:

a₁₀ = a₁ + 9·4 = a₁ + 36

S₁₀ = (a₁ + a₁₀) · 10 / 2 = (a₁ + a₁ + 36) · 5 = (2a₁ + 36) · 5

Zatem:

S_6–10 = (2a₁ + 36)·5 − (2a₁ + 16)·5/2

2. Korzystamy z warunku zadania

(2a₁ + 16) · 5 / 2 = 3 · S_6–10

Po uproszczeniu równania otrzymujemy:

a₁ = −26

Odpowiedź:

Pierwszy wyraz ciągu wynosi −26.