Układy równań liniowych i kwadratowych

Układy równań liniowych i kwadratowych

Definicja:
Układ równań liniowych i kwadratowych to układ, w którym jedno równanie jest liniowe, a drugie kwadratowe, np.:$$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = x^2 + 3 \end{cases}$$

Celem jest znalezienie wartości zmiennych, które spełniają oba równania jednocześnie.

---

1. Metody rozwiązywania układów liniowo-kwadratowych:

a) Metoda podstawiania:

1. Wyznacz jedną zmienną z równania liniowego (np. y = f(x))
2. Podstaw do równania kwadratowego → otrzymujesz równanie kwadratowe dla x
3. Rozwiąż równanie kwadratowe → znajdź x
4. Podstaw x do równania liniowego → znajdź y

b) Metoda graficzna:

• Narysuj linię i parabolę na osi współrzędnych
• Punkty przecięcia to rozwiązania układu

---

2. Przykład:

Układ:$$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = x^2 + 3 \end{cases}$$

Rozwiązanie (metoda podstawiania):

1. Podstaw y = 2x + 1 do y = x^2 + 3:

$$2x + 1 = x^2 + 3$$

2. Przekształć do równania kwadratowego:

$$x^2 – 2x + 2 = 0$$

3. Oblicz deltę:

$$\Delta = (-2)^2 – 4\cdot1\cdot2 = 4 – 8 = -4 < 0$$

• Brak rozwiązań rzeczywistych → układ nie ma punktów przecięcia w R

---

3. Wskazówki:

• Zawsze przekształć układ do równania kwadratowego jednej zmiennej.
• Oblicz deltę, aby sprawdzić, ile rozwiązań rzeczywistych istnieje.
• Rozwiązania zespolone mogą również wystąpić, jeśli Δ < 0.
• Metoda graficzna jest pomocna do wizualizacji punktów przecięcia.

---