Zadanie 152

Wyjaśnienie

Chcemy wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 wyrażenie

n(n² + 3n + 2)

jest podzielne przez 6, czyli jednocześnie przez 2 i przez 3.

Krok 1: Rozłóżmy wyrażenie na czynniki

n(n² + 3n + 2) = n(n + 1)(n + 2)

Otrzymujemy iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych.

Krok 2: Podzielność przez 2

Wśród trzech kolejnych liczb zawsze jedna jest parzysta, więc cały iloczyn jest podzielny przez 2.

Krok 3: Podzielność przez 3

Wśród trzech kolejnych liczb zawsze jedna jest podzielna przez 3, więc cały iloczyn jest podzielny przez 3.

Krok 4: Wniosek

Skoro wyrażenie jest jednocześnie podzielne przez 2 i przez 3, to musi być podzielne przez 6.

Zatem dla każdego n ≥ 1 liczba n(n² + 3n + 2) jest podzielna przez 6.