Nierówności liniowe

Nierówności liniowe

Definicja:
Nierówność liniowa to nierówność, w której zmienna występuje w pierwszej potędze i nie ma iloczynów zmiennych.

Ogólna postać:$$ax + b > 0, \quad ax + b \ge 0, \quad ax + b < 0, \quad ax + b \le 0, \quad a \ne 0$$

---

1. Rozwiązywanie nierówności liniowej:

1. Przenieś wyraz wolny na drugą stronę:

$$ax > -b$$

2. Podziel przez współczynnik przy x:

$$x > -\frac{b}{a} \quad \text{(jeśli } a > 0\text{)}$$

• Uwaga: jeśli dzielisz przez liczbę ujemną, zmień znak nierówności:

$$ax < -b \quad \text{(jeśli } a < 0\text{)}$$

---

2. Przykłady:

1. 3x + 6 > 0 → 3x > −6 → x > −2
2. −2x + 4 ≤ 0 → −2x ≤ −4 → x ≥ 2
3. 5 − x < 3 → −x < −2 → x > 2

---

3. Wskazówki:

• Zawsze pamiętaj o zmianie znaku nierówności przy dzieleniu przez liczbę ujemną.
• Wynik zapisujemy w postaci przedziału:

$$x \in (−2, \infty)$$

lub w zapisie osiowym.

• Sprawdź, czy rozwiązanie spełnia pierwotną nierówność.

---