Zadania maturalne

Zadanie 1
zadanie 16 maj 2025 (1pkt)
Dany jest ciąg geometryczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n≥1 , w którym a₁=27 oraz a₂=9 . Czwarty wyraz ciągu (a_n) jest równy:
a) 1/3
b) 1
c) 3
d) 729
Prawidłowa odpowiedź to B.
Wyrażenie ogólne ciągu geometrycznego:
a_n = a₁ * q^(n-1), gdzie a₁ to pierwszy wyraz, a q to iloraz ciągu.

Wyznaczenie ilorazu q:
q = a₂ / a₁ = 9 / 27 = 1/3

Obliczenie czwartego wyrazu a₄:
a₄ = a₁ * q³ = 27 * (1/3)³ = 27 * 1/27 = 1

a₄ = 1 (opcja b)
Zadanie 2
zadanie 16 grudzień 2024 (1pkt)
Dany jest ciąg geometryczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n≥1 , w którym a₂=1/6 oraz a₃=1/9 . Piąty wyraz ciągu (a_n) jest równy:
a) 1/15
b) 2/27
c) 4/81
d) 8/243
Prawidłowa odpowiedź to C.
Rozwiązanie ciągu geometrycznego
Mamy dane: ciąg geometryczny (a_n), n ≥ 1, taki że:

a₂ = 1/6

a₃ = 1/9

Chcemy znaleźć a₅.

Wyrażenie ogólne ciągu geometrycznego:
a_n = a₁ * q^(n-1), gdzie a₁ to pierwszy wyraz, a q to iloraz ciągu.

Zapisanie danych wyrazów:
a₂ = a₁ * q = 1/6
a₃ = a₁ * q² = 1/9

Wyznaczenie ilorazu q:
q = a₃ / a₂ = (1/9) / (1/6) = 6/9 = 2/3

Wyznaczenie a₁:
a₁ = a₂ / q = (1/6) / (2/3) = 1/4

Obliczenie a₅:
a₅ = a₁ * q⁴ = (1/4) * (2/3)⁴ = (1/4) * (16/81) = 16/324 = 4/81

Odpowiedź: 4/81 (opcja c)
Zadanie 3
zadanie 17 – sierpień 2023 (1pkt)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n) , określony dla każdej liczby naturalnej n≥1 . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 128 , natomiast iloraz ciągu jest równy (−1/2) .

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
– Wyraz a₂₀₂₃ jest liczbą ujemną. P/F
– Różnica a₃−a₂jest równa 96 .P/F
Prawidłowa odpowiedź to FP.
Rozwiązanie zadania
Dany ciąg geometryczny: a₁ = 128, q = -1/2

Wyraz a₂₀₂₃ jest liczbą ujemną: F
Wyjaśnienie: a₂₀₂₃ = 128·(-1/2)²⁰²² = 128·(1/2)²⁰²² > 0, więc wyraz jest dodatni.

Różnica a₃ − a₂ jest równa 96: P
Wyjaśnienie: a₂ = -64, a₃ = 32, więc a₃ − a₂ = 32 – (-64) = 96.
Zadanie 4
zadanie 14 czerwiec 2021 (1pkt)

Ciąg geometryczny (a_n) , określony dla każdej liczby naturalnej n≥1 , jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek a₃=a₁⋅a₂ . Niech q oznacza iloraz ciągu (a_n) . Wtedy:

a) a₁=1/q
b) a₁=q
c) a₁=q²
d) a₁-q³
Prawidłowa odpowiedź to B.
Dla ciągu geometrycznego mamy:

a₂ = a₁·q

a₃ = a₁·q²

Z warunku a₃ = a₁·a₂ otrzymujemy:

a₁·q² = a₁ · (a₁·q)

Zakładając a₁ ≠ 0 (wyrazy są dodatnie), dzielimy przez a₁ i otrzymujemy:

q² = a₁·q

Stąd q² - a₁·q = 0, czyli q(q - a₁) = 0.

Skoro q ≠ 0, musi być q - a₁ = 0, czyli a₁ = q.

Uwaga: ponieważ ciąg jest rosnący i dodatni, q > 1, co jest zgodne z otrzymym wynikiem.
Zadanie 5
zadanie 14 czerwiec 2020 (1pkt)

Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=2n² dla n≥1 . Różnica a₅−a₄ jest równa:

a) 4

b) 20

c) 36

d) 18
Prawidłowa odpowiedź to D.
Dany jest ciąg określony wzorem aₙ = 2n² dla n ≥ 1. Chcemy obliczyć a₅ − a₄.

a₄ = 2·4² = 2·16 = 32

a₅ = 2·5² = 2·25 = 50

Zatem:

a₅ − a₄ = 50 − 32 = 18

Poprawna odpowiedź: d) 18
Zadanie 6

zadanie 21 grudzień 2013 (1pkt)

W dziewięciowyrazowym ciągu geometrycznym o wyrazach dodatnich pierwszy wyraz jest równy 3, a ostatni wyraz jest równy 12. Piąty wyraz tego ciągu jest równy:

a) 3⁴√2

b) 6

c) 7 ½

d) 8 i 1/7

Prawidłowa odpowiedź to B.

Mamy ciąg geometryczny (aₙ) o 9 wyrazach, z a₁ = 3 i a₉ = 12. Chcemy znaleźć piąty wyraz a₅.

Dla ciągu geometrycznego o ilorazie q:

aₙ = a₁ · q^(n−1)

Skoro a₉ = a₁·q⁸, mamy:

12 = 3·q⁸

q⁸ = 12 / 3 = 4

q = 4^(1/8) = √2^(1/2) ≈ 1.1892

Teraz obliczamy a₅ = a₁·q⁴:

a₅ = 3 · q⁴ = 3 · (q⁸)^(1/2) = 3 · √4 = 3 · 2 = 6

Poprawna odpowiedź: b) 6
Zadanie 7
zadanie 14 marzec 2012 (1pkt)
W ciągu geometrycznym (a_n) dane są a₂=(√3)/2 i a₃=−(3/2) . Wtedy wyraz a₁ jest równy:

a) -(½)

b) ½

c) – ((√3)/2)

d) (√3)/3
Prawidłowa odpowiedź to A.
Mamy ciąg geometryczny (aₙ) z a₂ = √3/2 i a₃ = −3/2. Niech q będzie ilorazem ciągu. Wtedy:

a₃ = a₂·q → −3/2 = (√3/2)·q

Stąd:

q = (−3/2) / (√3/2) = −3/√3 = −√3

Teraz a₂ = a₁·q → √3/2 = a₁·(−√3)

a₁ = (√3/2) / (−√3) = −1/2

Poprawna odpowiedź: a) −½
Zadanie 8
zadanie 12 sierpień 2011 (1pkt)

W ciągu geometrycznym (a_n) mamy a₃=5 i a₄=15 . Wtedy wyraz a₅jest równy:

a) 10

b) 20

c) 75

d) 45
Prawidłowa odpowiedź to D.
Mamy ciąg geometryczny (aₙ) z a₃ = 5 i a₄ = 15. Niech q będzie ilorazem ciągu.

Z definicji ciągu geometrycznego:

a₄ = a₃·q → 15 = 5·q

Stąd:

q = 15 / 5 = 3

Teraz wyraz a₅ = a₄·q = 15·3 = 45

Poprawna odpowiedź: d) 45
Zadanie 9
zadanie 11 maj 2011 (1 pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n) , w którym a₃=1 i a₄=2/3 . Wtedy:

a) a₁= 2/3

b) a₁= 4/9

c) a₁= 3/2

d) a₁= 9/4
Prawidłowa odpowiedź to D.
Mamy nieskończony ciąg geometryczny (aₙ) z a₃ = 1 i a₄ = 2/3. Niech q będzie ilorazem ciągu.

Z definicji ciągu geometrycznego:

a₄ = a₃·q → 2/3 = 1·q

Stąd:

q = 2/3

Teraz a₃ = a₁·q² → 1 = a₁·(2/3)² = a₁·4/9

a₁ = 1 / (4/9) = 9/4

Poprawna odpowiedź: d) 9/4
Zadanie 10
zadanie 14 listopad 2010 (1 pkt)
W ciągu geometrycznym (a_n) dane są: a₁=2 i a₂=12 . Wtedy:

a) a₄= 26

b) a₄= 432

c) a₄= 32

d) a₄= 2592
Prawidłowa odpowiedź to B.
Mamy ciąg geometryczny (aₙ) z a₁ = 2 i a₂ = 12. Niech q będzie ilorazem ciągu.

Z definicji ciągu geometrycznego:

a₂ = a₁·q → 12 = 2·q

Stąd:

q = 12 / 2 = 6

Teraz wyraz a₄ = a₁·q³ = 2·6³ = 2·216 = 432

Poprawna odpowiedź: b) 432
Zadanie 31
zadanie 13 – maj 2018 (1 pkt)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n) , określony dla n≥1 , w którym a₁=√2 , a₂=2√2 , a₃=4√2 . Wzór na n -ty wyraz tego ciągu ma postać:

a) a_n = (√2)ⁿ

b) a_n = (2ⁿ)/(√2)

c) a_n = ((√2)/(2))ⁿ

d) an = ((√2)ⁿ)/(2)
Prawidłowa odpowiedź to A.
Dany jest ciąg geometryczny (a_n) o wyrazach:

a₁ = √2

a₂ = 2√2

a₃ = 4√2

Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać:

a) a_n = (√2)ⁿ

b) a_n = (2n)/(√2)

c) a_n = ((√2)/2)ⁿ

d) a_n = ((√2)ⁿ)/2

Krok 1: Wyznaczamy iloraz ciągu:

q = a₂ / a₁ = (2√2) / (√2) = 2

Krok 2: Wzór ogólny ciągu geometrycznego:

a_n = a₁ ⋅ q^n-1 = √2 ⋅ 2^n-1

Przekształcamy wzór do postaci potęgnej:

√2 ⋅ 2^n-1 = √2 ⋅ (2ⁿ / 2) = (2ⁿ ⋅ √2) / 2 = ((√2)ⁿ) / 2

Poprawna forma odpowiada opcji:

d) a_n = ((√2)ⁿ)/2
Zadanie 155

zadanie 26 – grudzień 2013 (zadanie otwarte) (2pkt)

Kwadrat K₁ ma bok długości a. Obok niego rysujemy kolejno kwadraty K₂, K₃, K₄,… takie, że każdy kolejny kwadrat ma bok o połowę mniejszą od boku poprzedniego kwadratu (zobacz obrazek). Wyznacz pole kwadratu K₁₂.

Pole kwadratu K₁₂ wynosi:

P₁₂ = a² / 4¹¹

Wyjaśnienie:

Długości boków kolejnych kwadratów tworzą ciąg geometryczny. Pierwszy kwadrat K₁ ma bok długości a, a każdy następny kwadrat ma bok o połowę krótszy od poprzedniego.

Zatem długość boku kwadratu K_n wynosi:

a_n = a · (1/2)^n-1

Pole kwadratu jest równe kwadratowi długości jego boku, więc:

P_n = a² · (1/4)^n-1

Dla n = 12 otrzymujemy:

P₁₂ = a² · (1/4)¹¹ = a² / 4¹¹

Zadania maturalne

Wyjaśnienie: