Obliczanie wyrazów ciągu geometrycznego

Rozwiążmy zadania!

• Zadanie 1

  Oblicz wyrazy a₁, a₃, a₁₁ ciągu geometrycznego określonego wzorem ogólnym:

  
  

  a) a_n = 3·(1/2)ⁿ
  
  b) a_n = -1/2·3ⁿ
  
  c) a_n = -1024·(-1/4)^n-1

  Pokaż odpowiedź

  a) a₁ = 3/2, a₃ = 3/8, a₁₁ = 3/1024
  b) a₁ = -3/2, a₃ = -27/2, a₁₁ = -177147/2
  c) a₁ = -1024, a₃ = -256, a₁₁ = -1

  Pokaż wyjaśnienie

  a) Ciąg: a_n = 3·(1/2)ⁿ – takim wzorem określony jest ciąg geometryczny.

  Krok 1 – pierwszy wyraz:
  a₁ = 3·(1/2)¹ = 3/2
  Aby obliczyć pierwszy wyraz ciągu, do wzoru wstawiamy n = 1 i wykonujemy działanie.

  Krok 2 – trzeci wyraz:
  a₃ = 3·(1/2)³ = 3·1/8 = 3/8
  Aby obliczyć trzeci wyraz ciągu, do wzoru wstawiamy n = 3 i wykonujemy działanie.

  Krok 3 – jedenasty wyraz:
  a₁₁ = 3·(1/2)¹¹ = 3·1/2048 = 3/1024
  Aby obliczyć jedenasty wyraz ciągu, do wzoru wstawiamy n = 11 i wykonujemy działanie.

  ---

  b) Ciąg: a_n = -1/2·3ⁿ – takim wzorem określony jest ciąg geometryczny.

  Krok 1 – pierwszy wyraz:
  a₁ = -1/2 · 3¹ = -3/2
  Aby obliczyć pierwszy wyraz ciągu, do wzoru wstawiamy n = 1 i wykonujemy działanie.

  Krok 2 – trzeci wyraz:
  a₃ = -1/2 · 3³ = -1/2 · 27 = -27/2
  Aby obliczyć trzeci wyraz ciągu, do wzoru wstawiamy n = 3 i wykonujemy działanie.

  Krok 3 – jedenasty wyraz:
  a₁₁ = -1/2 · 3¹¹ = -1/2 · 177147 = -177147/2
  Aby obliczyć jedenasty wyraz ciągu, do wzoru wstawiamy n = 11 i wykonujemy działanie.

  ---

  c) Ciąg: a_n = -1024·(-1/4)^n-1 – takim wzorem określony jest ciąg geometryczny.

  Krok 1 – pierwszy wyraz:
  a₁ = -1024·(-1/4)⁰ = -1024
  Aby obliczyć pierwszy wyraz ciągu, do wzoru wstawiamy n = 1 i wykonujemy działanie.

  Krok 2 – trzeci wyraz:
  a₃ = -1024·(-1/4)² = -1024·1/16 = -64
  Aby obliczyć trzeci wyraz ciągu, do wzoru wstawiamy n = 3 i wykonujemy działanie.

  Krok 3 – jedenasty wyraz:
  a₁₁ = -1024·(-1/4)¹⁰ = -1024·1/1048576 = -1
  Aby obliczyć jedenasty wyraz ciągu, do wzoru wstawiamy n = 11 i wykonujemy działanie.

• Zadanie 2

  Dane są ciągi geometryczne (n≥1). Wypisz a₁, q oraz a₅ dla każdego z ciągów:

  a) 2, 4, 8, 16, …
  
  b) 1/64, 1/16, 1/4, …
  
  c) -125, 25, -5, …

  Pokaż odpowiedź

  a) a1 = 2, q = 2, a5 = 32
  b) a1 = 1/64, q = 4, a5 = 4
  c) a1 = -125, q = -1/5, a5 = -1/5

  Pokaż wyjaśnienie

  a) Ciąg: 2, 4, 8, 16,…

  Krok 1 – wyrazy i iloraz:
  a₁ = 2 – pierwszy wyraz
  a₂ = 4 – drugi wyraz
  a₃ = 8 – trzeci wyraz
  a₄ = 16 – czwarty wyraz
  q = a₂ / a₁ = 4 / 2 = 2
  q = a₃ / a₂ = 8 / 4 = 2
  q = a₄ / a₃ = 16 / 8 = 2
  Zatem q = 2 – iloraz ciągu powstaje z podzielenia kolejnego wyrazu przez poprzedni.

  Krok 2 – obliczenie piątego wyrazu:
  Wzór ogólny: aₙ = a₁ · q^n-1
  a₅ = 2 · 2⁴ = 2 · 16 = 32
  Aby obliczyć piąty wyraz ciągu, wstawiamy n = 5 do wzoru i wykonujemy działanie.

  ---

  b) Ciąg: 1/64, 1/16, 1/4,…

  Krok 1 – wyrazy i iloraz:
  a₁ = 1/64 – pierwszy wyraz
  a₂ = 1/16 – drugi wyraz
  a₃ = 1/4 – trzeci wyraz
  a₄ = 1 – czwarty wyraz
  q = a₂ / a₁ = (1/16) / (1/64) = 4
  q = a₃ / a₂ = (1/4) / (1/16) = 4
  q = a₄ / a₃ = 1 / (1/4) = 4
  Zatem q = 4

  Krok 2 – obliczenie piątego wyrazu:
  a₅ = a₁ · q⁴ = (1/64) · 4⁴ = (1/64) · 256 = 4
  Aby obliczyć piąty wyraz ciągu, wstawiamy n = 5 do wzoru i wykonujemy działanie.

  ---

  c) Ciąg: -125, 25, -5,…

  Krok 1 – wyrazy i iloraz:
  a₁ = -125 – pierwszy wyraz
  a₂ = 25 – drugi wyraz
  a₃ = -5 – trzeci wyraz
  a₄ = 1 – czwarty wyraz
  q = a₂ / a₁ = 25 / (-125) = -1/5
  q = a₃ / a₂ = -5 / 25 = -1/5
  q = a₄ / a₃ = 1 / (-5) = -1/5
  Zatem q = -1/5

  Krok 2 – obliczenie piątego wyrazu:
  a₅ = a₁ · q⁴ = -125 · (-1/5)⁴ = -125 · 1/625 = -1/5
  Aby obliczyć piąty wyraz ciągu, wstawiamy n = 5 do wzoru i wykonujemy działanie.