zadanie 32 – czerwiec 2015 ( zadanie otwarte) (4 pkt)
Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (an) , dla n≥1 taki, że a5=18 . Wyrazy a1 , a3 oraz a13 tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na n -ty wyraz ciągu (an) . Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją.
Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (an) dla n≥1, taki że a5 = 18. Wyrazy a1, a3 i a13 tego ciągu tworzą ciąg geometryczny.
Krok 1: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
an = a1 + (n-1)d
Krok 2: Warunek dla a5:
a5 = a1 + 4d = 18 → a1 = 18 – 4d
Krok 3: Warunek ciągu geometrycznego:
Wyrazy a1, a3, a13 tworzą ciąg geometryczny:
a3² = a1 ⋅ a13
Podstawiamy an = a1 + (n-1)d:
(a1 + 2d)² = a1 ⋅ (a1 + 12d)
Krok 4: Rozwiązujemy równanie:
(a1 + 2d)² = a1² + 4a1d + 4d²
Prawa strona: a1² + 12a1d
Równanie: a1² + 4a1d + 4d² = a1² + 12a1d → -8a1d + 4d² = 0 → 2d² – 4a1d = 0 → d² – 2a1d = 0 → d(d – 2a1) = 0
Nie bierzemy d=0 (ciąg rosnący), więc:
d – 2a1 = 0 → d = 2a1
Krok 5: Podstawiamy do a1 = 18 – 4d:
18 – 4d = a1 → 18 – 4(2a1) = a1 → 18 – 8a1 = a1 → 18 = 9a1 → a1 = 2
Krok 6: Wyznaczamy d:
d = 2a1 = 4
Krok 7: Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
an = a1 + (n-1)d = 2 + (n-1)⋅4 = 4n – 2
Odpowiedź: an = 4n – 2
© 2026 My Matma. Created with ❤ using WordPress and Kubio