zadanie 35 – marzec 2021 (zad. Otwarte) (5pkt)
Rosnący ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1 . Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa 10 . Wyrazy a3,a5,a13 tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na n -ty wyraz ciągu arytmetycznego (an) . Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Zadanie:
Rosnący ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa 10. Wyrazy a3, a5, a13 tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego (an).
Krok 1: Zapiszmy wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
an = a1 + (n-1)d
Krok 2: Suma pierwszych pięciu wyrazów:
S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 5a1 + 10d = 10
Dzielimy przez 5:
a1 + 2d = 2
Krok 3: Warunek ciągu geometrycznego dla a3, a5, a13:
a5² = a3 ⋅ a13
Podstawiamy an = a1 + (n-1)d:
(a1 + 4d)² = (a1 + 2d)(a1 + 12d)
Krok 4: Rozwiązujemy równanie:
(a1 + 4d)² = a1² + 16a1d + 16d²
Prawa strona: a1² + 14a1d + 24d²
Równanie: a1² + 8a1d + 16d² = a1² + 14a1d + 24d²
Upraszczamy: 8a1d + 16d² = 14a1d + 24d² → 6a1 + 8d = 0 → a1 = -4d/3
Krok 5: Wykorzystujemy sumę pierwszych pięciu wyrazów:
a1 + 2d = 2
Podstawiamy a1 = -4d/3:
-4d/3 + 2d = 2 → 2d – 4d/3 = 2 → (6d – 4d)/3 = 2 → 2d/3 = 2 → d = 3
Krok 6: Wyznaczamy a1:
a1 = -4d/3 = -4
Krok 7: Wzór ogólny ciągu:
an = a1 + (n-1)d = -4 + (n-1)⋅3 = 3n – 7
Odpowiedź: an = 3n – 7
© 2026 My Matma. Created with ❤ using WordPress and Kubio