Zadanie 15

Mamy ciąg geometryczny aₙ dla n≥1, w którym wszystkie wyrazy są dodatnie. Wiemy, że:

6a₁ – 5a₂ + a₃ = 0

Chcemy znaleźć iloraz q ciągu w przedziale [2√2, 3√2].

Krok 1: Wyrażamy wyrazy przez iloraz:

• a₂ = a₁·q
• a₃ = a₁·q²

Podstawiamy do równania:

6a₁ – 5(a₁·q) + (a₁·q²) = 0

Wyciągamy a₁ przed nawias:

a₁ (6 – 5q + q²) = 0

Skoro a₁ ≠ 0, mamy równanie kwadratowe:

q² – 5q + 6 = 0

Krok 2: Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

(q – 2)(q – 3) = 0

Stąd q = 2 lub q = 3.

Krok 3: Sprawdzamy przedział [2√2, 3√2]:

• 2√2 ≈ 2,828
• 3√2 ≈ 4,243

Żaden z wyrazów q = 2 ani q = 3 nie mieści się poza przedziałem? 2 < 2,828 – nie mieści się, 3 – mieści się, bo 2,828 ≤ 3 ≤ 4,243.

Odpowiedź: q = 3