zadanie 100. Informator CKE Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa 10, a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.
an = 3n – 7
Wyjaśnienie:
Suma pierwszych pięciu wyrazów ciągu arytmetycznego spełnia zależność:
S₅ = 5/2 · (2a₁ + 4d) = 10,
co prowadzi do równania a₁ + 2d = 2.
Wyrazy a₃, a₅ i a₁₃ tworzą ciąg geometryczny, więc:
(a₅)² = a₃ · a₁₃.
Po podstawieniu wzorów aₙ = a₁ + (n−1)d otrzymujemy równanie:
(a₁ + 4d)² = (a₁ + 2d)(a₁ + 12d).
Po uproszczeniu równania otrzymujemy zależność:
6a₁ + 8d = 0,
czyli 3a₁ + 4d = 0.
Rozwiązując układ równań:
a₁ + 2d = 2
3a₁ + 4d = 0
otrzymujemy a₁ = -4 oraz d = 3.
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego ma postać:
aₙ = a₁ + (n−1)d = -4 + 3(n−1) = 3n – 7.
