Nierówności kwadratowe

Nierówności kwadratowe

Definicja:
Nierówność kwadratowa to nierówność, w której zmienna występuje w drugiej potędze:$$ax^2 + bx + c > 0, \quad ax^2 + bx + c \ge 0, \quad ax^2 + bx + c < 0, \quad ax^2 + bx + c \le 0, \quad a \ne 0$$

---

1. Rozwiązywanie nierówności kwadratowej:

Krok 1 – Oblicz deltę:$$\Delta = b^2 – 4ac$$

Krok 2 – Znajdź pierwiastki równania kwadratowego:$$x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Krok 3 – Wyznacz przedziały:

• Narysuj oś liczbową i zaznacz pierwiastki x₁ i x₂.
• Sprawdź, gdzie funkcja kwadratowa jest dodatnia lub ujemna, zależnie od znaku a:
  • Jeśli a > 0 → ramiona paraboli skierowane w górę
  • Jeśli a < 0 → ramiona paraboli skierowane w dół

---

2. Przykłady:

1. x² − 5x + 6 > 0

• Δ = 25 − 24 = 1 → x₁ = 2, x₂ = 3
• a > 0 → parabola w górę → x ∈ (−∞, 2) ∪ (3, ∞)

2. −x² + 4x − 3 ≥ 0

• Δ = 16 − 12 = 4 → x₁ = 1, x₂ = 3
• a < 0 → parabola w dół → x ∈ [1, 3]

---

3. Wskazówki:

• Zawsze najpierw wyznacz pierwiastki równania kwadratowego.
• Zwróć uwagę na znak współczynnika przy x², bo decyduje o tym, gdzie funkcja jest dodatnia lub ujemna.
• Wyniki zapisujemy w postaci przedziałów lub na osi liczbowej.

---